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174 Annexe C. Preuve de la Proposition 4.3.1 ou nulle. Raisonnons par l’absurde et supposons que lim τ→0 +ρ′ (τ) > 0. Il existe donc c,δ ∈ R >0 tels que, pour tout τ ∈ (0,δ), ρ ′ (τ) ≥ c, (C.7) ce qui implique, sachant ρ ′′ (τ) ≥ ρ′ (τ) a(τ) d’après (C.6) et le fait que a′ (τ) < 1, que : ρ ′′ (τ) ≥ c a(τ) ≥ c τ . Par conséquent, puisque (C.8) ρ ′ (τ) = ρ ′ (δ) − ∫ δ τ ρ ′′ (s) ds, lim τ→0 +ρ′ (τ) = −∞, ce qui est impossible, par conséquent lim τ→0 +ρ′ (τ) = 0 et ρ ∈ C 1 (R ≥0 ,R ≥0 ). (C.9) Considérons maintenant U = ρ ◦ W . Pour tout i ∈ Z ≥0 et e ∈ R ne , puisque ρ ∈ C 1 (R ≥0 ,R ≥0 ), d’après le théorème de la valeur moyenne, il existe W ∗ ∈ [W (i+1,h(i,e)),W (i,e)] (W (i + 1,h(i,e)) ≤ W (i,e)) : [ ] U(i + 1,h(i,e)) − U(i,e) = ρ ′ (W ∗ ) W (i + 1,h(i,e)) − W (i,e) , (C.10) en invoquant (C.1) et sachant que ρ ′ est positive, U(i + 1,h(i,e)) − U(i,e) ≤ − µ 2 ρ′ (W ∗ )˜α 3 (W (i,e)), (C.11) sachant que ρ ′ est également croissante sur R ≥0 et que W (i + 1,h(i,e)) ≤ W ∗ ≤ W (i,e), U(i + 1,h(i,e)) − U(i,e) ≤ − µ 2 ρ′ (W (i + 1,h(i,e)))˜α 3 (W (i + 1,h(i,e))), (C.12) puisque ρ ′ (τ) = 2 a(τ) ρ(τ) pour τ ∈ R >0 et ρ ′ (0) = 0, µ U(i + 1,h(i,e)) − U(i,e) ≤ − a(W (i + 1,h(i,e))) U(i + 1,h(i,e))˜α 3(W (i + 1,h(i,e))), d’après la définition de a, a(τ) ≤ ˜α 3 (τ) pour τ ∈ R ≥0 , donc U(i + 1,h(i,e)) − U(i,e) ≤ −µU(i + 1,h(i,e)). En conséquence, pour λ = 1 1+µ ∈ (0,1), U(i + 1,h(i,e)) ≤ λU(i,e). La preuve se conclut en remarquant que, puisque ρ ∈ C 1 (R ≥0 ,R ≥0 ), U hérite des propriétés de continuité de W . □
Annexe D. Théorèmes du petit gain pour des systèmes paramétrés 175 Annexe D Théorèmes du petit gain pour des systèmes paramétrés Dans cette annexe, des théorèmes du petit gain sont développés à partir des travaux de [184]. Deux types d’interconnexions sont étudiés : celles dites « classiques » entre deux soussystèmes vérifiant des propriétés de type stabilité entrée-état, d’autres plus atypiques puisque trois sous-systèmes sont interconnectés, l’un d’eux ne satisfaisant que des propriétés de type entrée-bornée-état-borné. De plus, pour la première fois à notre connaissance des théorèmes du petit gain sont présentés pour des systèmes paramétrés en temps continu et explicitement prouvés (un théorème est bien proposé sous des conditions différentes des nôtres dans [191] mais sans sa preuve). A noter que l’interconnexion de systèmes paramétrés discrets est analysé à l’aide d’un théorème du petit gain dans [111] basé sur la construction d’une fonction de Lyapunov pour le système global. Ces résultats sont utilisés dans ce mémoire pour analyser la stabilité des observateurs émulés pour les NCS. Leur portée s’avère toutefois plus générale. Nous montrons ainsi dans [163] qu’ils peuvent être appliqués pour la stabilisation semiglobale pratique asymptotique de classes de systèmes non linéaires ainsi que pour la commande et la poursuite de trajectoires pour les systèmes à données échantillonnées. Cette annexe est organisée de la façon suivante. Des définitions et résultats préliminaires sont présentés dans §D.1, fournissant des versions locales de certaines propriétés de [121, 184]. Des théorèmes du petit gain sont ensuite développés et prouvés dans §D.2, puis étendus aux systèmes paramétrés dans §D.3.
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N° D’ORDRE 9655 THÈSE DE DOCTOR
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