THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

122 Chapitre 6. Extension des observateurs de Karafyllis-Kravaris aux NCS
Preuve. Soit (ξ 0 ,z 0 ,e 0 ) ∈ R n ξ+n z+n e
. D’après (6.34), soit j ∈ {1, . . . ,l}, pour tout t ∈ [0,t max )
(où [0,t max ) est l’intervalle d’existence maximal de (6.23)-(6.28), t max ∈ R >0 ∪ {∞}) :
|L fP h j P (h O(z)) − L fP h j P (h O(z) + ξ)| ≤ ¯σ j (|ξ 0 | + |z 0 |,t) + K j ‖e‖ [0,t)
. (6.38)
Soit i ∈ Z ≥0 , pour tout t ∈ [τ j i ,τ j i+1 ) ∩ [0,t max), de par (6.38) on a :
|e j (t)| =
∣
∫ t
τ j i
(
)
L fP h j P (h O(z(s))) − L fP h j P (h O(z(s)) + ξ(s))
≤ τ j ¯σ j (|ξ 0 | + |z 0 |,τ j i ) + τ jK j ‖e‖ [0,t)
.
Considérons t ∈ [0,τ j 0 ) ∩ [0,t max) :
|e j (t)| =
∣ e j(0) +
∫ t
0
ds
∣
(
)
L fP h j P (h O(z(s))) − L fP h j P (h O(z(s)) + ξ(s))
≤ |e j (0)| + τ j 0 ¯σ j(|ξ 0 | + |z 0 |,0) + τ j 0 K j ‖e‖ [0,t)
.
ds
∣
Définissons la fonction de classe KL :
{
(τ j ¯σ j (s,0) + s) e τ j −t
si t < τ j
ˆσ j (s,t) =
τ j ¯σ j (s,t − τ j ) + se τ j−t
si t ≥ τ j .
(6.39)
Pour tout t ∈ [0,t max ),
|e j (t)| ≤ ˆσ j (|ξ 0 | + |z 0 | + |e 0 |,t) + τ j K j ‖e‖ [0,t)
. (6.40)
Sachant que |e| ≤
l ∑
j=1
|e j |, on déduit de (6.40) que, pour tout t ∈ [0,t max ) :
l∑
|e(t)| ≤ ˆσ(|ξ 0 | + |z 0 | + |e 0 |,t) + τ j K j ‖e‖ [0,t)
, (6.41)
∑
où ˆσ = n ˆσ j ∈ KL. Ainsi, puisque
j=1
j=1
l∑
τ j K j < 1,
j=1
‖e‖ [0,t)
≤
1
ˆσ(|ξ
∑
1 − l 0 | + |z 0 | + |e 0 |,0). (6.42)
τ j K j
j=1
D’autre part, pour tout t ∈ [0,t max ), d’après l’Hypothèse 6.4.2 :
|ξ(t)| ≤ σ(|ξ 0 | + |z 0 |,t) + γ(‖e‖ [0,t)
), (6.43)