THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 5. Conditions suffisantes pour l’émulation d’observateurs pour les NCS 97
bien être invoquée puisque τ 1 ≤ τ 0 (il suffit, pour le voir, d’utiliser le fait que ρ < 1). Soit
t ∈ [t 0 ,t max ), d’après les Hypothèses 5.2.1, 5.2.4 et la Proposition 5.2.1, on a :
(
)
‖e‖ [t0 ,t)
≤ β 2 (|e 0 |,0) + ζ(τ) γ ξ 2 ‖ξ‖ [t 0 ,t) + γz 2 ‖z‖ [t 0 ,t) + γw 2 ‖w‖ ∞
([
]
≤ β 2 (|e 0 |,0) + ζ(τ) γ1 e(γξ 2 + γz 2 γξ 3 ) + γz 2 γe 3 ‖e‖ [t0 ,t) + (γξ 2 + γz 2 γξ 3 )β 1(|(ξ 0 ,z 0 )|,0)
+γ2 zα(|z 0|) + [ (γ ξ 2 + γz 2 γξ 3 )γw 1 + γw 2 + ] )
γz 2 γw 3 ‖w‖∞ .
[
]
(5.27)
Définissons d(τ) = 1 − ζ(τ) γ1 e(γξ 2 + γz 2 γξ 3 ) + γz 2 γe 3 qui satisfait d(τ) > 0 puisque τ ∈ [υ,τ 1 ),
[
‖e‖ [t0 ,t)
≤ 1
d(τ) β 2(|e 0 |,0) + ζ(τ)
d(τ)
(γ ξ 2 + γz 2 γξ 3 )β 1(|(ξ 0 ,z 0 )|,0) + γ2 zα(|z 0|)
+ [ ]
(γ ξ 2 + γz 2 γξ 3 )γw 1 + γw 2 + ] γz 2 γw 3 ‖w‖∞ .
(5.28)
Puisque les termes de droite de (5.28) sont indépendants du temps, e(t) est borné sur [t 0 ,t max )
et tel est ξ(t), d’après l’Hypothèse 5.2.1. Par conséquent, en vu de l’Hypothèse 5.2.4, on peut
montrer par l’absurde que t max = ∞.
Etape 2 : Stabilité UEBEB.
Pour tout t ∈ [t 0 ,∞), d’après (5.28) et les Hypothèses 5.2.1, 5.2.4, on a :
où
|e(t)| ≤ M e (τ,ξ 0 ,e 0 ,z 0 , ‖w‖ ∞
) (5.29)
|ξ(t)| ≤ M ξ (τ,ξ 0 ,e 0 ,z 0 , ‖w‖ ∞
) (5.30)
|z(t)| ≤ M z (τ,ξ 0 ,e 0 ,z 0 , ‖w‖ ∞
), (5.31)
[
M e (τ,ξ 0 ,e 0 ,z 0 , ‖w‖ ∞
) = 1
d(τ) β 2(|e 0 |,0) + ζ(τ)
d(τ)
(γ ξ 2 + γz 2 γξ 3 )β 1(|(ξ 0 ,z 0 )|,0) + γ2 zα(|z 0|)
+ [ ]
(γ ξ 2 + γz 2 γξ 3 )γw 1 + γw 2 + ] γz 2 γw 3 ‖w‖∞
M ξ (τ,ξ 0 ,e 0 ,z 0 , ‖w‖ ∞
) = β 1 (|(ξ 0 ,z 0 )|,0) + γ1 eM e(τ,ξ 0 ,e 0 ,z 0 , ‖w‖ ∞
) + γ1 w ‖w‖ ∞
M z (τ,ξ 0 ,e 0 ,z 0 , ‖w‖ ∞
) = α(|z 0 |) + γ ξ 3 M ξ(τ,ξ 0 ,e 0 ,z 0 , ‖w‖ ∞
) + γ3 eM e(τ,ξ 0 ,e 0 ,z 0 , ‖w‖ ∞
)
+γ w 3 ‖w‖ ∞ . (5.32)
Nous noterons les fonctions M ξ , M e et M z sans préciser leurs dépendances dans la suite de
la preuve. Il s’en suit, pour tout t ∈ [t 0 ,∞) :
|(ξ(t),e(t),z(t))| ≤ M ξ + M e + M z
≤ ᾱ(|(ξ 0 ,e 0 ,z 0 )|) + ¯σ(τ) ‖w‖ ∞
, (5.33)
où, pour s ∈ R ≥0 :
[
[ ) ]
ᾱ(s) = 1 + γ1 e + γe 3 + 1
γξ 3 1] γe d(τ) β 2(s,0) + ζ(τ)
d(τ)
((γ ξ 2 + γz 2 γξ 3 )β 1(s,0) + γ2 zα(s) [
+(1 + γ ξ 3 )β 1(s,0) + α(s)
¯σ(τ) = 1 + γ1 e + γe 3 + γξ 3 γe 1
]
ζ(τ)
d(τ)
[
]
(γ ξ 2 + γz 2 γξ 3 )γw 1 + γw 2 + γz 2 γw 3 + (1 + γ ξ 3 )γw 1 + γw 3 ,