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62 Chapitre 3. Backstepping robuste échantillonné 3.7 Exemple numérique Dans cette section, nous illustrons les résultats de §3.5 à l’aide d’un exemple numérique. Soit le système non linéaire suivant : ˙η = η 2 + ξ + d 1 (η,ξ) (3.55) ˙ξ = u + d 2 (η,ξ), (3.56) où d 1 : (η,ξ) ↦−→ (1+sin(ξ))η 3 est majorée par ρ 1 : (η,ξ) ↦−→ 2|η| 3 et d 2 : (η,ξ) ↦−→ 1+cos(η)ξ 2 par ρ 2 : (η,ξ) ↦−→ 1 + ξ 2 : l’Hypothèse 3.5.1 est satisfaite. Considérons ¯ξ = −η − η 2 − 2η 3 et W T (η) = 1 2 η2 (η ∈ R), l’Hypothèse 3.5.2 est garantie puisque ces fonctions sont bien deux fois dérivables pour tout T , la condition (2) est vérifiée avec φ : s ↦→ s + s 2 + 2s 3 (s ∈ R ≥0 ) et les différentes dérivées partielles de ¯ξ et W T , considérées dans la condition (3), sont bien localement bornées. Par conséquent, le Théorème 3.5.1 peut être appliqué. Un contrôleur de la forme (3.38) est synthétisé avec c = 1, ε = 0.01 et la fonction p de sat est : p T ε : z ↦−→ − 3 2(T ε) 5 z 5 + 5 2(T ε) 3 z 3 . (3.57) Des simulations ont été réalisées afin de comparer les performances fournies par le contrôleur (3.38) et l’émulation d’une loi continue du type hard développée dans [55]. Les paramètres suivants ont été pris : T = 0.005, η(0) = ξ(0) = 3. La Figure 3.1 montre que les deux contrôleurs discrets garantissent la convergence des états vers un voisinage de l’origine, mais plus rapidement pour (3.38). Le tracé des signaux de commande, Figure 3.2, nous indique que des phénomènes de grand gain apparaissent, typiques des contrôleurs de type hard [55]. La commande reconstruite présente toutefois l’avantage d’avoir généralement une amplitude plus faible que l’émulation. En prenant une nouvelle valeur de période d’échantillonnage T = 0.015 (et η(0) = ξ(0) = 2) on constate Figure 3.3 que le blocage de la loi continue n’assure plus la stabilisation du système contrairement à (3.38) : ce dernier permet d’élargir le bassin d’attraction. Les signaux de commande sont présentés dans la Figure 3.4 et de nouveau, des amplitudes élevées sont atteintes. 3.8 Conclusion Rares sont les techniques de commande robuste non linéaire disponibles en temps échantil– lonné. Dans ce chapitre, nous avons étudié le cas d’une des méthodes de commande non linéaire les plus célèbres : le backstepping. Considérant une classe de systèmes sous forme strict-feedback affectés par des perturbations, des lois de commande ont été proposées pour la stabilisation entrée-état et asymptotique (lorsque les incertitudes vérifient des propriétés de majoration) du système à données échantillonnées. A partir de l’approximé d’Euler discret, les contrôleurs obtenus sont reconstruits par rapport au blocage de la loi continue afin d’améliorer certaines performances, comme nous le montrons sur un exemple. Simples à déterminer et à
Chapitre 3. Backstepping robuste échantillonné 63 3.5 η 3 2.5 2 1.5 continu émulation redesign 1 0.5 rag replacements 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 t 50 0 −50 u cont ξ −100 −150 −200 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 t Fig. 3.1 – Simulations pour η(0) = ξ(0) = 3 et T = 0.005 4 x 104 rag replacements ξ u 3.5 3 2.5 2 1.5 1 continu émulation redesign u cont 0.5 0 −0.5 −1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 t Fig. 3.2 – Signaux de commande pour η(0) = ξ(0) = 3 et T = 0.005
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