THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

140 Chapitre 6. Extension des observateurs de Karafyllis-Kravaris aux NCS
RR TOD Echantillonné
ZOH Proposition 5.3.1 1.12 × 10 −9 1.58 × 10 −9 5.39 × 10 −9
Pred Proposition 5.3.2 2.73 × 10 −9 3.16 × 10 −9 1.08 × 10 −8
Théorème 6.4.2 5.34 × 10 −9 3.83 × 10 −9 1.08 × 10 −8
Simulation 0.30 0.28 1.2
Tab. 6.3 – Bornes sur le MATI pour le système (6.104)-(6.109)
Par conséquent, les Hypothèses 5.2.5 et 6.4.2 sont satisfaites. L’Hypothèse 5.2.3 est vérifiée
pour les protocoles RR, TOD et le cas échantillonné et les bloqueurs ZOH et Pred, comme
nous l’avons vu dans §5.3.2. Parallèlement à (6.110) on a, pour tout ˜z 0 ∈ R 4 et (x,e) ∈ L 6 ∞ ,
|˜z(t)|
≤
√
λmax(P )
)
λ min (P )
(− exp η
2λ max(P ) (t − t 0) |˜z(0)| + 2 λmax(P )
ηλ min (P )[
|P T −1 ΛC| ‖x‖ [t0 ,t)
+|P T −1 ]
Λ| ‖e‖ [t0 ,t) .
(6.111)
En remarquant que le système (6.96) est stable ([187]), (5.48) est garantie d’après (6.111). Le
Corollaire 5.2.1 peut ainsi être appliqué, (5.51) est par conséquent assurée lorsque le bloqueur
ZOH est implémenté et pour des periodes de transmission inférieures à celles données dans
le Tableau 6.3. Les conditions du Théorème 5.2.2 sont également vérifiées, (5.56) est donc
garantie. On peut montrer, de la même manière que dans §6.5.2, que l’Hypothèse 6.4.3 est
bien vérifiée avec K i = 2|C i A| λmax(P )
ηλ min (P ) |P T −1 Λ| et (6.20) avec K = 2|CA| λmax(P )
ηλ min (P ) |P T −1 Λ|.
Par conséquent, (6.37) est assurée d’après le Corollaire 6.4.1 et le Théorème 6.4.2, selon le
protocole considéré. Les bornes sur le MATI sont résumées dans le Tableau 6.3.
Contrairement à §6.6.1, les gains sont uniquement calculés à l’aide de fonctions de Lyapunov.
Nous pensons que c’est la une des raisons principales des faibles valeurs de MATI
obtenues. Nous constatons en effet une très grande différence entre MATI estimés et obtenus
en simulation. Une des pistes pour améliorer ces résultats serait de faire varier la fonction de
Lyapunov, i.e. P , et le gain d’observation Λ 1 afin de maximiser le MATI. Cette procédure
d’optimisation s’avère beaucoup plus délicate que pour les observateurs linéaires, puisque
P doit garantir des conditions supplémentaires en termes de matrice de changement de coordonnées
et de distance à l’inobservabilité en fonction de Λ 1 (cf. [1, 160]) qui nécessitent
des développements supplémentaires. Nous retrouvons la même hiérarchie entre bloqueurs
ZOH/Pred et protocoles RR/TOD/échantillonné pour les MATI estimés, qui n’est toutefois
pas toujours fidèle au comportement réel du système puisque l’on constate que le protocole RR
est plus efficace que le TOD, pour les bloqueurs Pred, pour de larges MATI. Cette différence
inattendue se justifie par le faible nombre de nœuds du réseau qui ne permet visiblement pas
de tirer profit des capacités du TOD.