THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

120 Chapitre 6. Extension des observateurs de Karafyllis-Kravaris aux NCS
Cette hypothèse, qui correspond à l’Hypothèse 5.2.1 mais avec des gains non linéaires, est
équivalente à (6.14). En effet, supposons que l’Hypothèse 6.4.2 soit vérifiée, sachant que
ξ = x − ¯x = x − h O (z), alors pour tout (ξ 0 ,z 0 ) ∈ R n ξ+n z
, e ∈ L ne
∞ et t ∈ R ≥0 :
|ξ(t)| ≤ σ(|ξ 0 | + |z 0 |,t) + γ(‖e‖ [0,t)
)
≤ σ(|x 0 | + |h O (z 0 )| + |z 0 |,t) + γ(‖e‖ [0,t)
). (6.32)
Puisque h O (0) = 0 et que h O est continue, il existe α ∈ K telle que |h O (z)| ≤ α(|z|) pour
z ∈ R nz
(par exemple α(s) = sup |h O (x)| + s), par conséquent :
|x|≤s
|ξ(t)| ≤ σ(|x 0 | + α(|z 0 |) + |z 0 |,t) + γ(‖e‖ [0,t)
)
≤ σ((I + α)(|x 0 | + |z 0 |),t) + γ(‖e‖ [0,t)
). (6.33)
En rappelant que ε correspond à e ici, (6.14) est bien satisfaite. A l’inverse, on peut montrer
que (6.14) implique l’Hypothèse 6.4.2. Ainsi, il n’est plus nécessaire de supposer séparément
qu’il existe des conditions initiales assurant la synchronisation pour tout temps de x et ¯x
comme dans §6.3 : l’Hypothèse 6.4.2 le garantit.
Revenons au cas des NCS. Le vecteur de sortie, y, est décomposé en l sous-vecteurs
(y = (y 1 , . . . ,y l )), où l est le nombre de nœuds, ainsi h p = (h 1 P , . . . ,hl p ). L’hypothèse suivante
jouera le rôle de (6.20).
Hypothèse 6.4.3 Il existe ¯σ j ∈ KL et K j ∈ R ≥0 tels que le long des solutions de (6.23)-
(6.24), pour tout j ∈ {1, . . . ,l}, (ξ 0 ,z 0 ) ∈ R nx+nz et e ∈ L ne
∞ :
|L fP h j P (h O(z)) − L fP h j P (h O(z) + ξ)| ≤ ¯σ j (|ξ 0 | + |z 0 |,t) + K j ‖e‖ [t0 ,t) . (6.34)
Remarque 6.4.2 On note que |ė j | = |L fP h j P (h O(z)) − L fP h j P (h O(z) + ξ)|, j ∈ {1, . . . ,l}
(e = (e 1 , . . . ,e l )).
Cette hypothèse peut être interprétée comme une propriété de stabilité entrée-sortie du
système (6.23)-(6.24) avec e comme entrée et ỹ = L fP h i P (h O(z)) − L fP h i P (h O(z) + ξ) comme
sortie. Contrairement au Chapitre 5, l’interconnexion ne repose plus sur les variables (ξ,z,e)
mais (ỹ,z,e). Cette différence n’est pas la seule entre les deux études, comme nous le constaterons
lors de l’analyse de stabilité.
Remarque 6.4.3 Il est possible d’adapter les résultats du Chapitre 5 à ce type d’interconnexion
sous des hypothèses supplémentaires. De nouvelles bornes sur le MATI sont alors
obtenues. Nous avons choisi de présenter différents types d’interconnexion dans ce mémoire
afin de souligner la maléabilité des résultats exposés. Nous considérerons ultérieurement ce
type d’interconnexion dans l’article de revue correspondant au Chapitre 5.