THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

178 Annexe D. Théorèmes du petit gain pour des systèmes paramétrés
En notant que ψ(r,0) = ∞, l’inégalité désirée est alors assurée pour t = t 0 .
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Soit ˜ψ(r,t) = min { ϕ(r),ψ(r,t) } pour r ∈ (0,∆) et t ∈ R ≥0 . On remarque que ˜ψ est
décroissante en t et lim ˜ψ(s,t) = 0 ( lim ψ(s,t) = 0 puisque ψ(r,·) est une bijection strictement
t→∞ t→∞
décroissante de R >0 dans R >0 ). On obtient, d’après (D.8) et le Fait D.1.1, que pour tout
r ∈ (0,∆), s ∈ [0,r), t ≥ t 0 :
Φ(s,t) ≤ ˜ψ(r,t − t 0 ), (D.11)
par conséquent, d’après (D.8), (D.11) et en prolongeant par continuité ˜ψ sur [0,∆] × [t 0 ,∞)
par ˜ψ(∆,t − t 0 ) = lim ˜ψ(r,t − t0 ) ∈ R >0 , (si ψ(·,t) tend vers l’infini en ∆, ϕ prend bien
r→∆ −
une valeur constante strictement positive puisque elle est de classe K ∞ ) et ˜ψ(0,t − t 0 ) = 0
(puisque ψ est positive et que ϕ(0) = 0) on a :
Φ(s,t) ≤ √ √
φ(s) ˜ψ(r,t − t 0 ) ≤ √ √
φ(s) ˜ψ(∆,t − t 0 ).
Soit β(s,t) = √ φ(s)√
˜ψ(∆,t), pour s ∈ [0,∆) et t ∈ R≥0 , on peut voir que :
(D.12)
– pour tout s ∈ [0,∆), β(s,·) est continue, décroissante et lim
t→∞
β(s,t) = 0 (comme ˜ψ(s,·)
est décroissante et lim
t→∞
˜ψ(s,t) = 0) ;
– pour tout t ∈ R ≥0 , β(·,t) est continue, strictement croissante sur [0,∆) et s’annule en
l’origine.
De cette manière, β ∈ KL, ce qui clôt la preuve.
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Le résultat suivant provient du Lemma A.2 dans [184].
Lemme D.1.2 Soient ∆,c ∈ R >0 , δ ∈ K ∞ , c ∈ R >0 et T : (0,∆)×(c,∞) → R ≥0 qui satisfait :
(i) T (·,ε) est croissante pour tout ε ∈ (c,∞) ;
(ii) lim T (r,ε) = ∞, pour tout r ∈ (0,∆) ;
ε→c− alors, pour tout ¯η > 1, il existe β ∈ KL tel que pour tout r ∈ (0,∆), t ∈ R ≥0 , il existe
ε ∈ A T (r,t) = { η ∈ (c,∞) : T (r,η) ≤ t } ∪ { ∞ } tel que
min { ε − ¯ηc,δ −1 (r) } ≤ β(r,t). (D.13)
Preuve abrégée. La preuve se déduit de celle du Lemme A.2 dans [184]. Soit ¯η > 1. On
peut montrer que pour tout r ∈ (0,∆) et t ∈ R ≥0 , inf{A T (r,t)} > c, la fonction suivante est
définie, pour r ∈ (0,∆) et t ∈ R ≥0 ,
ϕ(r,t) = min { inf{A T (r,t)} − c,δ −1 (r) } , (D.14)
avec ϕ(0,t) = 0 et ϕ(r,t) = δ −1 (r) tant que inf{A T (r,t)} = ∞. On peut alors montrer que ϕ
vérifie les conditions (i) et (ii) de la Proposition D.1.1. Ainsi il existe ¯β ∈ KL tel que, pour
tout r ∈ (0,∆), t ∈ R ≥0 :
ϕ(r,t) ≤ ¯β(r,t). (D.15)