THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Annexe D. Théorèmes du petit gain pour des systèmes paramétrés 185
On définit les fonctions de classe K ν x ,ν u , pour s ∈ R ≥0 :
ν x (s) = max { β 1 (ρ 1 (s),0),γ ωa 2
1 (β 2(ρ 2 (s),0)),ρ 1 (s),β 2 (ρ 2 (s),0),γ ω 1
2 (β 1(ρ 1 (s),0)),
˜β(s,0),s }
ν u (s) = max { γ u 1 (s),γωa 2
1 ◦ γ u 2 (s),γu 2 (s),γω 1
2 ◦ γ u 1 (s),˜γu (s) } ,
où ˜β ∈ KL, ˜γ u ∈ K sont définies respectivement par (D.74) et (D.78), et soit ∆ ∈ R >0 tel
que max { ν x (∆),ν u (∆) } < M.
Alors, le système (D.46)-(D.47) est uniformément positivement complet pour tout (x 1 (t 0 ),
x 2 (t 0 )) ∈ R nx 1 +nx 2 et (u 1 ,u 2 ) ∈ L nu 1 +nu 2
∞ avec max { |x 1 (t 0 )|,|ω a 2 (x 2(t 0 ))|, ‖u 1 ‖ ∞
, ‖u 2 ‖ ∞
}
<
∆. De plus, pour tout η > 1, il existe β ∈ KL , σ ∈ K telles que pour tout (x 1 (t 0 ),x 2 (t 0 )) ∈
R nx 1 +nx 2 et (u 1 ,u 2 ) ∈ L nu 1 +nu 2
∞ avec max { |x 1 (t 0 )|,|ω2 a(x }
2(t 0 ))|, ‖u 1 ‖ ∞
, ‖u 2 ‖ ∞ < ∆, les
solutions de (D.46)-(D.47) satisfont, pour tout t ≥ t 0 ≥ 0,
{
max { |ω 1 (x 1 (t))|,|ω a 2 (x 2(t))| } ≤ max
où δ(s) = max { η˜σ m (s),ηs } , pour s ∈ R ≥0 .
β(max { |ω 1 (x 1 (t 0 ))|,|ω a 2 (x 2(t 0 ))| } ,t − t 0 ),
σ(max { ‖u 1 ‖ [t0 ,t) , ‖u 2‖ [t0 ,t)
}
),δ(m)
}
, (D.58)
Preuve. Il est tout d’abord prouvé que le système est uniformément positivement complet
lorsque les conditions initiales et les entrées (u 1 ,u 2 ) ∈ L nu 1 +nu 2
∞ sont convenablement majorées.
La propriété de stabilité désirée est ensuite obtenue en invoquant la Proposition D.1.3.
Etape 1. Complétude positive et majoration de ω 1 (x 1 ) et ω a 2 (x 2).
Soient t 0 ∈ R ≥0 , (x 1 (t 0 ),x 2 (t 0 )) ∈ R nx 1 +nx 2 et (u 1 ,u 2 ) ∈ L nu 1 +nu 2
∞
tels que
max { |x 1 (t 0 )|,|ω a 2(x 2 (t 0 ))|, ‖u 1 ‖ ∞
, ‖u 2 ‖ ∞
}
< ∆, (D.59)
ce qui implique, d’après la définition de ∆,
ν x (max { |x 1 (t 0 )|,|ω a 2(x 2 (t 0 ))| } ) < M (D.60)
ν u (max { ‖u 1 ‖ [t0 ,∞) , ‖u 2‖ [t0 ,∞)
}
) < M. (D.61)
Soit [t 0 ,t max ) l’intervalle maximal d’existence de (D.46)-(D.47), où t max ∈ (t 0 ,∞]. De par
(D.52) et (D.54), on a, pour tout t ∈ [t 0 ,t max ) :
{
|ω 1 (x 1 (t))| ≤ max β 1 (|ω 1 (x 1 (t 0 ))|,t − t 0 ),γ ωa 2
1 (β 2(|ω2(x a 2 (t 0 ))|,0)),
γ ωa 2
1 (γω 1
2 (‖ω 1(x 1 )‖ [t0 ,t) )),γωa 2
1 (γu 2 (‖u 2 ‖ [t0 ,t)
}
)),
γ1 u (‖u 1‖ [t0 ,t) ) {
‖ω 1 (x 1 )‖ [t0 ,t)
≤ max β 1 (|ω 1 (x 1 (t 0 ))|,0),γ ωa 2
1 (β 2(|ω2(x a 2 (t 0 ))|,0)),
γ ωa 2
1 (γω 1
2 (‖ω 1(x 1 )‖ [t0 ,t) )),γωa 2
1 (γu 2 (‖u 2‖ [t0 ,t) )),
(D.62)
γ u 1 (‖u 1‖ [t0 ,t) ) }. (D.63)