THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 6. Extension des observateurs de Karafyllis-Kravaris aux NCS 125
Corollaire 6.4.2 Supposons que les Hypothèses 6.4.1-6.4.2 soient vérifiées et qu’il existe
¯σ j ∈ KL et K j ∈ R ≥0 tels que le long des solutions de (6.23)-(6.24), pour tout j ∈ {1, . . . ,l},
(ξ 0 ,z 0 ) ∈ R n ξ+n z
et e ∈ L ne
∞, pour tout t ∈ R ≥0 :
|L fP h j P (h O(z)) − L fP h j P (h O(z) + ξ)| ≤ ¯σ j (|ξ 0 | + |z 0 |,t) + K j ‖e j ‖ [t0 ,t) , (6.50)
pour tout protocole à excitation persistante, si pour tout j ∈ {1, . . . ,l}
alors le système (6.23)-(6.28) est RFC et (6.37) est garanti.
τ j K j < 1, (6.51)
Remarque 6.4.5 La condition (6.50) est moins générale que (6.34) puisque le terme de
droite ne dépend que du sous-vecteur e j . Cela signifie, en général, que le système est composé
de l sous-systèmes indépendants les uns des autres, correspondant à chaque nœud. Dans de
tels cas, les bornes sur le MATI obtenues sont moins restrictives que celle du Théorème 6.4.1.
6.4.3 Pour des protocoles TOD
L’ordonnacement du réseau par un protocole TOD est maintenant étudié. On nomme ς
la fonction qui attribue l’accès au réseau à un nœud, ς : R ≥0 × R ne → {1, . . . ,l} constante par
morceaux, lorsque le nœud j a été choisi à l’instant t i , ς(t,e) = j pour t ∈ [t i ,t i+1 ), et e j (t i ) = 0.
Un résultat technique préliminaire est nécessaire à l’analyse.
Lemme 6.4.1 Supposons que les Hypothèses 6.4.1-6.4.3 soient vérifiées, pour le protocole
TOD, pour tout (ξ 0 ,z 0 ,e 0 ) ∈ R n ξ+n z+n e
, e ∈ L ne
∞ , j ∈ {1, . . . ,l}, i ≥ l−1, t ∈ [τ i,τ i+1 )∩[0,t max )
([0,t max ) est l’intervalle maximal d’existence des solutions, t max ∈ R >0 ∪ {∞}), les solutions
de (6.23)-(6.28) vérifient :
l∑
|e j (t)| ≤ lτ ¯σ k (|ξ 0 | + |z 0 |,τ i−l+1 ) + lτ max {K k} ‖e‖ [0,t)
. (6.52)
k∈{1,...,l}
k=1
Preuve. Soient (ξ 0 ,z 0 ,e 0 ) ∈ R n ξ+n z+n e
, e ∈ L ne
∞, j ∈ {1, . . . ,l} et i ≥ l −1. Si ς j (τ i ,e(τi − )) = j,
(6.52) est vérifié. Concentrons-nous sur le cas où ς j (τ i ,e(τi − ))) ≠ j. Pour tout t ∈ [τ i,τ i+1 ) ∩
[0,t max ), d’après (6.34) :
|e j (t)| ≤ τ ¯σ j (|ξ 0 | + |z 0 |,τ i ) + τK j ‖e‖ [0,t)
+ |e j (τ i )|. (6.53)
Deux cas doivent être distingués.
(a) Pour tout k ∈ {i − l + 1, . . . ,i}, ς j (τ k ,e(τ − k
)) ≠ j, alors, puisque i ≥ l − 1, au moins un