THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 1. Introduction 23
il est prouvé dans [150], que si le modèle discret constitue une approximation consistante du
discrétisé exact (i.e. qu’il lui est en quelque sorte suffisamment fidèle) et si le contrôleur
synthétisé est uniformément bornée (typiquement, qu’il n’explose pas lorsque la période
d’échantillonnage tend vers zéro), alors des propriétés de stabilité similaires à celles dérivées
pour le modèle approximé sont maintenues pour le discrétisé exact. Le passage « stabilité
du discrétisé exact » à « stabilité du système à données échantillonnées » est ensuite assuré
sous certaines conditions d’après [155]. Dans cette étude, les modèles approximés sont vus
comme des familles de systèmes discrets paramétrés par la période d’échantillonnage. Cette
méthodologie non-constructive permet d’étudier de nombreux schémas de discrétisation et de
lois de commande.
Lorsque l’on décide de résoudre un problème de commande à l’aide de l’approche DTD,
la question première est de savoir quel schéma de discrétisation considéré. En effet, meilleure
sera l’approximation, plus performant sera le contrôleur développé. Il existe de nombreuses
méthodes pour construire un modèle approximé, voir par exemple [65, 66] où des modèles
dits d’ordre élevé sont étudiés. Ce type de modèles présente l’avantage de fournir de bonnes
approximations de l’état à chaque instant d’échantillonnage, mais est évidemment plus difficile
à analyser qu’un modèle d’Euler. D’autres travaux ont pour objet de déterminer des lois de
commande et des schémas de discrétisation assurant la correspondance des entrées et sorties
des systèmes continu et discret aux instants d’échantillonnage, pour plus d’informations voir
[134] et les références qui y sont citées.
Contrairement à l’approche CTD, la DTD permet de développer des contrôleurs qui
dépendent de la période d’échantillonnage. Une configuration classique est la synthèse de
lois de la forme, r ∈ Z >0 , [16, 29, 136, 147, 153] :
r∑
u = u 0 + T i u i . (1.9)
i=1
On parle généralement de contrôleurs d’ordre élevé (pour r ∈ Z >0 ). Typiquement, u 0 correspond
au blocage de la loi continue, tandis que les u i (i ∈ Z >0 ) sont synthétisés à partir du
modèle discret. L’ajout de ces termes supplémentaires a pour but d’améliorer la réponse
du système par rapport à la simple émulation, en termes de contraintes sur la période
d’échantillonnage et de vitesse de convergence notamment. A noter que les contrôleurs (1.9)
ne peuvent pas être, en général, un simple développement de Taylor d’une commande continue
[67, 147].
La commande par DTD permet donc de développer des contrôleurs plus adaptés aux
systèmes échantillonnées que par CTD. Cependant, cette approche est généralement plus
difficile de par le choix du modèle approximé, de sa complexité mais aussi du fait que l’analyse
de stabilité est réalisée en temps discret, les techniques de commande étant moins aisées à
manipuler qu’en continu.