THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 2. Commande adaptative échantillonnée de systèmes non linéaires 41
Remarque 2.4.3 Les premiers termes dans l’expression des u s ’s, s ∈ {1, . . . ,r}, ne sont pas
choisis pour compenser le terme correspondant en facteur de T s dans le développement de
l’équation aux différences de la fonction de Lyapunov, mais pour assurer plus de négativité,
afin d’améliorer la vitesse de réponse du système comme nous le verrons dans §2.5. Des termes
supplémentaires peuvent ainsi être ajoutés dans (2.52).
Il n’est pas toujours possible de résoudre chaque étape de (2.50). Dans un tel cas, le
contrôleur pourra être synthétisé afin de rendre aussi faible que possible l’impact des termes
d’ordre élevé du développement de la fonction V . Dans ce cas, pour r ∈ Z >0 donné, les termes
u 1 , . . . ,u r seront choisis par récurrence tels que, pour s ∈ {1, . . . ,r}:
u s = arg min
|u s|≤U M
(
Lg1 V (x)u s + G s
(ˆγ,x,Us−1
))
, (2.53)
où
et
)
2∑
G 1
(ˆγ,x,u0 = ¯p i11 (x,u 0 )S i1 (ˆγ) + ¯p 011 (x,u 0 ) + Λ 1 (x,ˆγ) (2.54)
i=1
)
s∑
s∑ ∑k+1
G s
(ˆγ,x,Us−1 = ¯p 0ks (x,U s−1 ) + ¯p iks (x,U s−1 )S is (ˆγ) + Λ s (x,U s−1 ,ˆγ). (2.55)
k=1
k=1 i=1
2.4.3 Commentaires
Lorsque la condition (2.50) est assurée, les composantes u s ’s de la loi de commande obtenue
rendent chaque terme du développement en série de la fonction de Lyapunov plus « négatifs ».
En conséquence, la vitesse de convergence du système en boucle fermée générale–ment augmente,
le domaine d’attraction est élargi et les états convergent vers un plus petit voisinage
centré en l’origine, lorsque l’ordre du contrôleur augmente. Cependant, la loi de commande
dépend généralement de termes à grand gain (voir les κ s ’s dans la Proposition 2.4.1 par
exemple). En conséquence, le terme O(T r+1 ) qui dépend du signal de commande, peut augmenter
et devenir de moins en moins négligeable. Cet aspect doit être pris en compte lorsque
l’on synthétise de tels contrôleurs. Toutefois, un contrôleur redésigné avec attention fournit
des résultats supérieurs à ceux du blocage d’une loi continue, comme nous le verrons dans la
prochaine section.
Concernant le choix des paramètres α et σ, l’utilisateur est libre. La preuve du Théorème
2.4.1 nous indique qu’un α grand et un σ petit permettent de réduire le voisinage de l’origine
vers lequel les états convergent, au prix d’un échantillonnage plus rapide.
Un dernier phénomène peut apparaître avec de tels contrôleurs : l’accroissement du dépas–
sement qui peut être atténuer lorsque le système continu vérifie certaines propriétés, voir la
condition (ii) de l’Hypothèse 2.2 dans [147].