THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 1. Introduction 21
explicite sur la période d’échantillonnage maximale admissible, sans qu’aucune linéarisation
ou hypothèse de type Lispchitzienne ne soit requise [154]. Des conditions suffisantes sur le
système bouclé continu sont proposées en termes de fonctions de Lyapunov. Une borne sur la
période d’échantillonnage est alors déduite assurant ainsi la stabilité (globale) asymptotique
de l’origine. Une approche alternative à [154] a été développée au cours de cette thèse [161]
pour de plus larges classes de systèmes. Pour les systèmes linéaires à temps invariant (LTI), des
fonctions de Lyapunov, inspirées des fonctionnelles habituellement utilisées pour les systèmes
à retard, sont considérées dans [140] afin de déduire des conditions suffisantes exprimées en
termes d’inégalités matricielles linéaires (LMI). L’analyse de stabilité repose sur l’application
d’un théorème développé pour les systèmes impulsifs. D’autre part, lorsque l’échantillonnage
n’est pas uniforme, les systèmes LTI à données échantillonnées sont vus comme des systèmes
à commutation discrets dans [76]. Le cas des systèmes LTI à retards à données échantillonnées
y est également traité.
Lorsque le signal de commande discret est converti en un signal analogique à l’aide d’un
bloqueur d’ordre zéro, le problème peut être considéré comme un système commandé par une
entrée retardée u(t − τ), où τ = t − t k , t ∈ [t k ,t k+1 ), voir [58, 59, 93]. Le cas des systèmes LTI
est pour la première fois abordé sous cet angle dans [58], où des conditions suffisantes pour la
stabilisation sont exprimées en termes de LMI, notamment lorsque le signal de commande est
soumis à des saturations. Poursuivant cette approche, une classe de systèmes non linéaires est
étudiée dans [93] sans contrainte d’homogénéité ou de type Lipschitzienne, à l’aide de fonctions
de Razumikhin classiques ou vectorielles. Cette étude présente l’avantage de considérer des
perturbations sur l’échantillonnage et permet de calculer une borne sur la période maximale
admissible.
L’approche CTD désigne également la synthèse de lois de commande, toujours en temps
continu, mais en tentant de compenser l’effet de l’échantillonnage, voir [37, 70, 80, 82, 95, 136].
Les travaux sur les systèmes linéaires [58, 140] peuvent être également regroupés dans cette
catégorie si le problème est pris à l’envers : plutôt que de fixer le gain du contrôleur linéaire
puis de résoudre les LMI en jouant sur la période d’échantillonnage, l’inverse est réalisé, on
fixe cette dernière afin de déterminer le gain.
L’approche CTD présente l’avantage d’être simple d’utilisation. Il suffit, en effet, de
développer une loi de commande en temps continu, à l’aide des techniques disponibles dans
la littérature, puis de la discrétiser à l’aide de schémas numériques bien établis. En revanche,
elle nécessite la mise en place d’échantillonneurs à fréquence élevée du fait que la structure de
commande ne prend pas en compte l’échantillonnage. Dans de nombreux cas, l’utilisation de
puissants calculateurs permet d’assurer le bon fonctionnement du système bouclé. Cependant,
la période d’échantillonnage requise peut parfois excéder les capacités de calcul disponibles,
il est alors nécessaire d’envisager d’autres approches.