THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

20 Chapitre 1. Introduction
ment élevée, le contrôleur discret fournira un signal proche du continu. On parle d’approche
par émulation.
Ainsi, dans un premier temps, une loi de commande continue est synthétisée à partir
des techniques disponibles dans la littérature. A cette étape, l’échantillonnage est ignoré.
Le contrôleur continu est ensuite discrétisé à l’aide de schéma d’intégrations numériques ou,
pour les systèmes linéaires, de correspondance des pôles et des zéros entre le continu et le
discret. Les méthodes d’Euler, de Runge-Kutta, de Tustin sont autant de façons d’obtenir
un contrôleur discret à partir du continu. Finalement, le contrôleur discret est implémenté
numériquement (voir Figure 1.1). Le choix de la période d’échantillonnage est un point clef de
cette étape. Dans la grande majorité des cas, elle est choisie suffisamment petite pour garantir
la stabilité du système bouclé. Une exception est [212] où cette contrainte est relaxée, à la
condition que le vecteur d’état réside dans le bassin d’attraction de l’origine à chaque instant
d’échantillonnage.
De nombreux travaux de recherche ont étudié le comportement dynamique des systèmes
à données échantillonnées par émulation. Pour les systèmes linéaires, la stabilité entrée-sortie
est étudiée dans [33, 54]. Des analyses fréquentielles sont proposées dans [43, 162]. Le cas des
systèmes non linéaires est examiné dans [33, 34, 109, 159, 196, 211] à l’aide d’outils d’analyse
en temps discret. Dans [109], un cadre méthodologique pour la discrétisation de commandes
continues est développée. Considérant des contrôleurs garantissant certaines propriétés de
dissipativité, il est prouvé qu’une discrétisation appropriée et l’implémentation numérique à
l’aide d’un bloqueur d’ordre zéro assurent des propriétés similaires pour le système à données
échantillonnées. Cette large extension de [196] propose une solution pour le cas particulier,
fondamentale en pratique, où l’origine du système continue bouclé est globalement asymptotiquement
stable. Il y est prouvé que cette propriété est maintenue par émulation semiglobalement
et pratiquement dans le cas général. Les notions de semiglobalité et de convergence
pratique signifient que pour tout boule de conditions initiales donnée il existe une période
d’échantillonnage telle que l’origine du système est asymptotiquement stable à une erreur
résiduelle près que l’on peut diminuer autant que désiré.
Le récent engouement pour la thématique des systèmes hybrides a permis de voir le
problème sous un jour nouveau. Il est montré, dans [74], que pour les systèmes globalement
Lipschitziens, le blocage d’une loi de commande statique maintient la stabilité exponentielle
sous un échantillonnage rapide. Cette étude a ensuite été étendue, sous des conditions
similaires, au cas des contrôleurs dynamiques discrétisés d’après le schéma d’Euler [28].
L’étude d’un retour de sortie dynamique est proposée dans [114] à partir de la linéarisation
du système et du contrôleur. La commande de systèmes non linéaires continus par une loi
linéaire numérique est traitée dans [77, 81] où il est expliqué comment les propriétés de
stabilité du système peuvent être déduites de celles du système linéaire associé, pour des
échantillonnages à pas simples ou multiples. Dernièrement, les résultats initialement dédiés
aux systèmes en réseau (voir Partie II) ont prouvé leur utilité pour l’obtention d’une borne