THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 6. Extension des observateurs de Karafyllis-Kravaris aux NCS 127
Théorème 6.4.2 Supposons que les Hypothèses 6.4.1-6.4.3 soient vérifiées, pour le protocole
TOD, si
τl 3 2 max {K j} < 1 (6.59)
j∈{1,...,l}
alors le système (6.23)-(6.28) est RFC et (6.37) est garanti.
Preuve. Soit (ξ 0 ,z 0 ,e 0 ) ∈ R n ξ+n z+n e
. D’après le Lemme 6.4.1, pour tout t ∈ [τ i ,τ i+1 )∩[0,t max ),
i ≥ l − 1, on peut montrer que :
|e(t)| ≤ l 3 2 τ
l∑
¯σ k (|ξ 0 | + |z 0 |,τ i−l+1 ) + l 3 2 τ max {K k} ‖e‖ [0,t)
. (6.60)
k∈{1,...,l}
k=1
Pour t ∈ [0,τ l−1 ) ∩ [0,t max ), la borne suivante est déduite pour tout j ∈ {1, . . . ,l} :
|e j (t)| ≤ lτ ¯σ j (|ξ 0 | + |z 0 |,0) + lτK j ‖e‖ [0,t)
+ |e j (0)|. (6.61)
Ainsi, pour tout t ∈ [0,τ l−1 ) ∩ [0,t max ),
où
|e(t)| ≤ l 3 2 τ
l∑
¯σ k (|ξ 0 | + |z 0 |,0) + l 3 2 τ max {K k} ‖e‖ [0,t)
+ √ l|e 0 |, (6.62)
k∈{1,...,l}
k=1
⎧
)
√ ∑
⎪⎨ l
(lτ l ¯σ j (s,0) + s e lτ−t
j=1
˘σ(s,t) =
)
√ ∑
⎪⎩ l
(lτ l ¯σ j (s,t − lτ) + se lτ−t
j=1
si t < lτ
(6.63)
si t ≥ lτ.
Pour tout t ∈ [0,t max ) :
|e(t)| ≤ ˘σ(|ξ 0 | + |z 0 | + |e 0 |,t) + l 3 2 τ max
k∈{1,...,l} {K k} ‖e‖ [0,t) . (6.64)
La preuve se conclut de la même façon que celle du Théorème 6.4.1 en invoquant à plusieurs
reprises le Théorème 6.2.1, sachant que τl 3 2 max K j < 1
j∈{1,...,l}
Il est intéressant de remarquer que les bornes sur le MATI pour le RR généralisé et le
TOD ne diffèrent pas en terme de gain, comme c’est le cas au Chapitre 5, mais en terme
de formulation. L’analyse étant adaptée au protocole, la borne sur le MATI obtenue est caractéristique
de la méthode suivie. Il est par conséquent difficile d’affirmer que l’un ou l’autre
des protocoles permet de considérer de plus grands MATI à partir des expressions présentées.
Nous verrons en simulation que le TOD confirme le plus souvent nos attentes en prouvant sa
supériorité pour de grands MATI.
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Le résultat suivant est une conséquence directe du Théorème 6.4.2.