THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Annexe D. Théorèmes du petit gain pour des systèmes paramétrés 189
Le théorème suivant est atypique puisqu’il s’agit d’une triple interconnexion pour laquelle
un des sous-systèmes ne vérifient pas de propriété de stabilité asymptotique mais de type
entrée-bornée-état-borné. Dans [40], des théorèmes du petit gain sont proposés pour des interconnexions
multiples de systèmes. Il y est montré que la stabilité entrée-état, la propriété
de gain asymptotique et la stabilité entrée-bornée-état-borné sont conservées une fois par
le système global interconnecté sous de nouvelles conditions du petit gain. Contrairement à
[40], les systèmes étudiés ici ont chacun des propriétés de stabilité différentes, de plus leur
interconnexion est assurée d’être pratiquement stable et non pas asymptotiquement stable.
Théorème D.2.2 Considérons le système (D.46)-(D.47), supposons qu’il existe β 1 ,β 2 ∈ KL,
γ ωa 2
1 ,γωb 2
1 , γu 1 , γω 1
2 ,γu 2 ,α 1,η ω 1
1 ,ηωa 2
1 ,ηωb 2
1 ,ηu 1 ,α 2,η ω 1
2 ,ηωa 2
2 ,ηu 2 ∈ K tels que pour tout x 1(t 0 ) ∈ R nx 1 ,
(u 1 ,x 2 ) ∈ L nu 1 +nx 2
∞ , t ≥ t 0 ≥ 0, les solutions de (D.46) vérifient :
|ω 1 (x 1 (t))| ≤ max { β 1 (|ω 1 (x 1 (t 0 ))|,t − t 0 ),γ ωa 2
1 (‖ωa 2 (x 2)‖ [t0 ,t)),γ ωb 2
1 (‖ωb 2 (x 2)‖ [t0 ,t)),
γ u 1 (‖u 1 ‖ [t0 ,t) )}
|x 1 (t)| ≤ max { α 1 (|x 1 (t 0 )|),η ω 1
1 (‖ω 1(x 1 )‖ [t0 ,t) ),ηωa 2
1 (‖ωa 2 (x 2)‖ [t0 ,t)),
(D.80)
η ωb 2
1 (‖ωb 2(x 2 )‖ [t0 ,t)),η u 1 (‖u 1 ‖ [t0 ,t) )} , (D.81)
pour tout x 2 (t 0 ) ∈ R nx 2 , (x 1 ,u 2 ) ∈ L nx 1 +nu 2
∞ , et t ≥ t 0 ≥ 0, les solutions de (D.47) vérifient :
|ω a 2(x 2 (t))| ≤ max { β 2 (|ω 2 (x 2 (t 0 ))|,t − t 0 ),γ ω 1
2 (‖ω 1(x 1 )‖ [t0 ,t) ),γu 2 (‖u 2 ‖ [t0 ,t) )} (D.82)
|ω b 2 (x 2(t))| ≤ max { α 2 (|ω b 2 (x 2(t 0 ))|),η ω 1
2 (‖ω 1(x 1 )‖ [t0 ,t) ),ηωa 2
2 (‖ωa 2 (x 2)‖ [t0 ,t)),
η u 2 (‖u 2 ‖ [t0 ,t) )} ,
(D.83)
et qu’il existe 0 < m < M tels que
{
max γ ωa 2
1 ◦ γ ω 1
2 (s),γωb 2
1 ◦ η ωa 2
2 ◦ γ ω 1
2 (s),γωb 2
1 ◦ η ω 1
2 (s),γω 1
2 ◦ γ ωa 2
1 (s), (D.84)
avec
γ ω 1
2 ◦ γ ωb 2
1 ◦ η ωa 2
2 (s),γω 1
2 ◦ γ ωb 2
1 ◦ η ω 1
2 (s) }
< s pour s ∈ [m,M],
˜σ m (m) < M, (D.85)
où ˜σ m est défini par (D.118). On définit les fonctions de classe K ν x ,ν u , pour s ∈ R ≥0 :
{
ν x (s) = max β 1 (ρ 1 (s),0),γ ωa 2
1 (β 2(ρ 2 (s),0)),γ ωb 2
1 (α 2(ρ 2 (s))),γ ωb 2
1 (ηωa 2
2 (β 2(ρ 2 (s),0))),
β 2 (ρ 2 (s),0),γ ω 1
2 (β 1(ρ 1 (s),0)),γ ω 1
2 (γωb 2
1 (α 2(ρ 2 (s)))),ρ 1 (s),ρ 2 (s),
}
˜β(s,0),
˜σ x (s)
{
ν u (s) = max γ ωa 2
1 (γu 2 (s)),γu 1 (s),γωb 2
1 (ηωa 2
2 (γu 2 (s))),γωb 2
1 (ηu 2 (s)),γω 1
2 (γu 1 (s)),γu 2 (s),
}
γ ω 1
2 (γωb 2
1 (ηu 2 (s))),˜γ u (s) ,
où ˜β ∈ KL, ˜σ x ,˜γ u
∈ K sont respectivement définies dans (D.116), (D.119) et (D.122).
Soit ∆ ∈ R >0 tel que max { ν x (∆),ν u (∆) } < M, alors il existe µ ∈ R >0 tel que, pour tout
(x 1 (t 0 ),x 2 (t 0 )) ∈ R nx 1 +nx 2 et (u 1 ,u 2 ) ∈ L nu 1 +nu 2
∞ avec max { }
|x 1 (t 0 )|,|x 2 (t 0 )|, ‖u 1 ‖ ∞
, ‖u 2 ‖ ∞