THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

94 Chapitre 5. Conditions suffisantes pour l’émulation d’observateurs pour les NCS
Le résultat ci-dessous est une conséquence de la Proposition 6 dans [151].
Proposition 5.2.1 Si les Hypothèses 5.2.2 et 5.2.3 sont vérifiées et τ ∈ [υ,τ 0 ) où
τ 0 = 1 L ln(1 ρ ) (5.12)
si L = 0,
( )
1 1
τ 0 = lim
L→0 L ln ρ
= ∞, (5.13)
alors, il existe β 2 ∈ exp −KL tel que pour tout e 0 ∈ R ne , (ξ,z,w) ∈ L n ξ+n z+n w
∞ , le long des
solutions de (5.3) et (5.6) :
(
)
|e(t)| ≤ β 2 (|e 0 |,t − t 0 ) + ζ(τ) γ ξ 2 ‖ξ‖ [t 0 ,t) + γz 2 ‖z‖ [t 0 ,t) + γw 2 ‖w‖ [t 0 ,t) ∀t ≥ t 0 ≥ 0,
(5.14)
exp(Lτ)−1
où ζ(τ) =
a 1 L(1−ρ exp(Lτ)) et a 1 ∈ R >0 est défini dans (4.9).
Preuve. Soient e 0 ∈ R ne , (ξ,z,w) ∈ L n ξ+n z+n w
∞ et τ ∈ [υ,τ 0 ). Dans un premier temps, nous
allons montrer par récurrence que pour tout i ∈ Z ≥0 , t ∈ [t i ,t i+1 ], le long des solutions de
(5.3) et (5.6) :
|W (i,e(t))| ≤ ρ i (
exp((i + 1)Lτ)W (0,e(t 0 ))
)
+ γ ξ 2 ‖ξ‖ [t 0 ,t) + γz 2 ‖z‖ [t 0 ,t) + γw 2 ‖w‖ 1
[t 0 ,t) L
[exp(Lτ) − 1]
× ∑ (ρ exp(Lτ)) j .
j∈{0,...,i}
(5.15)
Cas i = 0. Afin de lever tout ambiguïté à propos de la non-dérivabilité potentielle de W , il est
préférable de rappeler les explications fournies dans [151]. Puisque W est localement Lipschitzienne
en e, Ẇ existe et est égale pour presque tout t à la dérivée directionnelle. De plus, on sait
que la dérivée directionnelle généralisée de Clarke, W ◦ (e; g(t,ξ,e,z,w)), majore la dérivée directionnelle.
Ainsi, d’après la condition 5 page 100 dans [194], si
∂W (i,e) ∂W (i,e)
∂i
+
∂e
g(t,ξ,e,z,w) ≤
LW (i,e) + γ ξ 2 |ξ| + γz 2 |z| + γw 2 |w| pour tout t,ξ,z,w et presque tout e, alors, pour tout i et
presque tout t on a Ẇ (i,e(t)) ≤ W ◦ (e; g(t,ξ,e,z,w)) ≤ LW (i,e(t)) + γ ξ 2 |ξ| + γz 2 |z| + γw 2 |w|. Par
conséquent, d’après le principe de comparaison, en vu de l’Hypothèse 5.2.3, on obtient, pour
tout t ∈ [t 0 ,t 1 ] :
|W (0,e(t))| ≤ exp(Lτ)W
(
(0,e(t 0 ))
)
+ γ ξ 2 ‖ξ‖ [t 0 ,t) + γz 2 ‖z‖ [t 0 ,t) + γw 2 ‖w‖ 1
[t 0 ,t) L [exp(Lτ) − 1] . (5.16)
L’inégalité (5.15) est donc vérifiée pour i = 0.
i ⇒ i+1. On suppose que (5.15) soit vérifiée pour i ∈ Z ≥0 . D’après le principe de comparaison
et l’Hypothèse 5.2.3, pour tout t ∈ [t i+1 ,t i+2 ] :
|W (i + 1,e(t))| ≤ exp(Lτ)W
(
(i + 1,e(t + i+1 ))
)
+ γ ξ 2 ‖ξ‖ [t i+1 ,t) + γz 2 ‖z‖ [t i+1 ,t) + γw 2 ‖w‖ 1
[t i+1 ,t) L
[exp(Lτ) − 1] .
(5.17)