THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 7. Convergence semiglobale pratique d’observateurs émulés pour les NCS 155
La condition (7.17) est donc vérifiée avec, pour (s,t) ∈ R 2 ≥0 ,
√
(
)
λ max (P )
β 2 (s,t) =
λ min (P ) s exp ν
−
4λ max (P ) t (7.58)
√
γ2 W (s) = 4 λ max (P )
[
|P G|θ γ (|K|α −1
1 (s)) + |P Λ|α−1 1
ν λ min (P )
(s) + |P |θ φ ◦ α −1
1
], (s) (7.59)
où α 1 est défini selon le protocole d’après (4.9) ou (4.35).
Nous montrons maintenant que l’Hypothèse 7.2.2 est satisfaite pour le TOD modifié combiné
aux différents bloqueurs. Considérons ˜W défini par (E.11), pour ˜W (e) ≥ 1,
〈
∂ ˜W
〉
(i,e)
,g(t,ξ,e,z) ≤ ∣
∂e
ˆf P (z) − CA(ξ + z) − CGγ (H(ξ + z)) − Cφ (C(ξ + z)) ∣ ,
pour ˜W (e) ≤ 1,
〈
∂ ˜W
〉
(i,e)
,g(t,ξ,e,z)
∂e
≤
ϱ ′ (W (e)) ∣ ˆf P (z) − CA(ξ + z) − CGγ (H(ξ + z))
∣
−Cφ (C(ξ + z)) ∣. (7.60)
D’après la construction de ˜W proposée dans l’Annexe E, la preuve de la Proposition 4.3.1
(cf. Annexe C) et puisque ϱ ′ est strictement croissante sur R ≥0 , on obtient :
〈
∂ ˜W
〉
(i,e)
,g(t,ξ,e,z) ≤ ϱ ′ (1) ∣
∂e
ˆf P (z) − CA(ξ + z) − CGγ (H(ξ + z))
∣
−Cφ (C(ξ + z)) ∣. (7.61)
A l’aide de (7.60) et (7.61), on obtient, avec ϑ = max{1,ϱ ′ (1)} :
〈
∂ ˜W
〉
(i,e)
,g(t,ξ,e,z) ≤ ϑ∣ ∂e
ˆf P (z) − CA(ξ + z) − CGγ (H(ξ + z))
∣
−Cφ (C(ξ + z)) ∣. (7.62)
Ainsi, pour le bloqueur d’ordre zéro, d’après (7.43) et (7.44),
〈
∂ ˜W
〉
(i,e)
,g(t,ξ,e,z) ≤
∂e
[
ϑ |CA|(|ξ| + |z|) + |CG|θ γ (|H|(|ξ| + |z|)|)
]
+|C|θ φ (|C|(|ξ| + |z|)) ,
d’après l’inégalité triangulaire faible (cf. Lemme A.1.2),
〈
〉
∂ ˜W (i,e)
,g(t,ξ,e,z) ≤
∂e
[
ϑ |CA|(|ξ| + |z|) + |CG| (θ γ (2|H||ξ|) + θ γ (2|H||z|))
]
+|C| (θ φ (2|C||ξ|) + θ φ (2|C||z|)) ,