THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

98 Chapitre 5. Conditions suffisantes pour l’émulation d’observateurs pour les NCS
ainsi, puisque ᾱ,¯σ ∈ K, le système (5.1)-(5.6) est UEBEB avec w comme entrée et un gain
linéaire d’après la Définition B.2.1.
Etape 3 : Propriété (5.26).
Pour tout t 0 ≤ t 10 ≤ t 20 ≤ t 11 ≤ t 21 , en utilisant l’invariance et la causalité des inégalités
(5.8) et (5.14), on obtient :
|ξ(t 11 )| ≤ β 1 (|(ξ(t 10 ),z(t 10 ))|,t 11 − t 10 ) + γ
( 1 e ‖e‖ [t 10 ,t 11 ) + γw 1 ‖w‖ ∞ ,
|e(t 21 )| ≤ β 2 (|e(t 20 )|,t 21 − t 20 ) + ζ(τ) γ ξ 2 ‖ξ‖ [t 20 ,t 21 ) + γz 2 ‖z‖ ∞ + γw 2 ‖w‖ ∞
)
.
(5.34)
Soit t ∈ [t 0 ,∞), prenons t 10 = t−t 0
4
+ t 0 , t 20 = t−t 0
2
+ t 0 , t 21 = t, t 11 ∈ [ t−t 0
2
+ t 0 ,t], d’après
(5.29), (5.30), (5.31) et (5.34) :
(
|e(t)| ≤ β 2 (M e , t−t 0
2 ) + ζ(τ) γ2 z ‖z‖ ∞ + γw 2 ‖w‖ ∞ + γξ 2 β 1(M ξ + M z , t−t 0
)
+γ ξ 2 γe 1 ‖e‖ [ t−t 0 +t 4 0 ,∞) + γξ 2 γw 1 ‖w‖ ∞
) )
+ ζ(τ ∗ )γ ξ 2 1(
β
(
≤ β 2 Me + M ξ + M z , t−t 0
(
2
+ζ(τ)
M e + M ξ + M z , t−t 0
γ ξ 2 γe 1 ‖e‖ [ t−t 0
4 +t 0 ,∞) + γz 2 ‖z‖ ∞ + [ γ ξ 2 γw 1 + γw 2
4
]
‖w‖∞
)
.
4 )
(5.35)
En remarquant que ζ(τ)γ e 1 γξ 2 < 1 (puisque τ 1 ≤ τ 0 et ρ < 1), le Lemme A.1 dans [86] peut
être utilisé pour (5.35) (avec z(t) = |e(t)|, β = β 2 (s, t 2 ) + ζ(τ ∗ )γ ξ 2 β 1(s, t 4 ), s = M e + M ξ + M z ,
ρ(s) = ζ(τ)γ1 eγξ 2
(γ s, d = ζ(τ) 2 z ‖z‖ ∞ + 2[ γξ γ
w
1 + γ2
w ] )
‖w‖∞ et µ = 1 4 , (s,t) ∈ R2 ≥0 ) pour
montrer qu’il existe ˜β 2 ∈ KL et λ 2 ∈ (1,∞) tels que :
|e(t)| ≤ ˜β
(
2 (M e + M ξ + M z ,t − t 0 ) + λ 2ζ(τ)
γ
1−ζ(τ)γ1 eγξ 2 z ‖z‖ ∞ + [ γ ξ 2 γw 1 + ] )
γw 2 ‖w‖∞ .
2
(5.36)
Parallèlement, d’après l’Hypothèse 5.2.1 et la Proposition 5.2.1, on peut montrer qu’il existe
˜β 1 ∈ KL et λ 1 ∈ (1,∞) tels que
|ξ(t)| ≤ ˜β 1 (M e + M ξ + M z ,t − t 0 ) +
+ [ γ1 w + ] )
ζ(τ)γe 1 γw 2 ‖w‖∞ .
λ 1
1−ζ(τ)γ e 1 γξ 2
(
ζ(τ)γ e 1 γz 2 ‖z‖ ∞
(5.37)
En combinant (5.36) et (5.37), avec ˜β = ˜β 1 + ˜β 2 , il s’en suit :
|(ξ(t),e(t))| ≤ ˜β
[
(M e + M ξ + M z ,t − t 0 ) + γz 2 ζ(τ)
1−ζ(τ)γ1 eγξ [λ1
2
×(
+ λ 2 γ ξ 2 ζ(τ)] γ1 w + [λ 2 + λ 1 γ1 e] ζ(τ)γw 2
λ 1 γ e 1 + λ 2
]
)
‖w‖ ∞
.
‖z‖ ∞ +
1
1−ζ(τ)γ e 1 γξ 2
(5.38)