THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Annexe D. Théorèmes du petit gain pour des systèmes paramétrés 191
tel que |ω 1 (x 1 (t 1 ))| = M. Soit ¯t = inf { t ∈ (t 0 ,t max ) : |ω 1 (x 1 (t))| = M } . D’après (D.90), on
a :
{
‖ω 1 (x 1 )‖ [t0 ,¯t) = |ω 1(x 1 (¯t))| ≤ max β 1 (ρ 1 (x 1 (t 0 )),0),γ ωa 2
1 (β 2(ρ 2 (x 2 (t 0 )),0)),
γ ωa 2
1 (γu 2 (‖u 2‖ [t0 ,¯t) )),γu 1 (‖u 1‖ [t0 ,¯t) ),
γ ωb 2
1 (α 2(ρ 2 (x 2 (t 0 )))),γ ωb 2
1 (ηωa 2
2 (β 2(ρ 2 (x 2 (t 0 )),0))),
γ ωb 2
1 (ηωa 2
2 (γu 2 (‖u 2 ‖ [t0 ,¯t) ))),γωb 2
1 (ηu 2 (‖u 2 ‖ [t0 ,¯t) )),
γ ωa 2
1 (γω 1
2 (‖ω 1(x 1 )‖ [t0 ,¯t) )),
γ ωb 2
1 (ηωa 2
2 (γω 1
2 (‖ω 1(x 1 )‖ [t0 ,¯t)
}
))),
γ ωb 2
1 (ηω 1
2 (‖ω 1(x 1 )‖ [t0 ,¯t) )) {
= max β 1 (ρ 1 (x 1 (t 0 )),0),γ ωa 2
1 (β 2(ρ 2 (x 2 (t 0 )),0)),
γ ωa 2
1 (γu 2 (‖u 2 ‖ [t0 ,¯t) )),γu 1 (‖u 1 ‖ [t0 ,¯t) ),
γ ωb 2
1 (α 2(ρ 2 (x 2 (t 0 )))),γ ωb 2
1 (ηωa 2
2 (β 2(ρ 2 (x 2 (t 0 )),0))),
γ ωb 2
1 (ηωa 2
2 (γu 2 (‖u 2 ‖ [t0 ,¯t) ))),γωb 2
1 (ηu 2 (‖u 2 ‖ [t0 ,¯t) )),
γ ωa 2
1 (γω 1
2 (M)),γωb 2
1 (ηωa 2
2 (γω 1
2 (M))),
γ ωb 2
1 (ηω 1
2 (M)) }. (D.91)
On remarque que, d’après (D.88) :
{
max β 1 (ρ 1 (x 1 (t 0 )),0),γ ωa 2
1 (β 2(ρ 2 (x 2 (t 0 )),0)),γ ωa 2
1 (γu 2 (‖u 2‖ [t0 ,¯t) )),γu 1 (‖u 1‖ [t0 ,¯t) ),
γ ωb 2
1 (α 2(ρ 2 (x 2 (t 0 )))),γ ωb 2
1 (ηωa 2
2 (β 2(ρ 2 (x 2 (t 0 )),0))),γ ωb 2
1 (ηωa 2
2 (γu 2 (‖u 2‖ [t0 ,¯t) ))),
γ ωb 2
1 (ηu 2 (‖u 2‖ [t0 ,¯t) )) }
< M,
(D.92)
en conséquence, d’après (D.84), (D.91), (D.92),
|ω 1 (x 1 (¯t))| < M,
ce qui contredit le fait que |ω 1 (x 1 (¯t))| = M, par conséquent, puisque ω 1 (x 1 ) est continue entre
deux instants de saut et d’après (D.48), pour tout t ∈ [t 0 ,t max ) :
|ω 1 (x 1 (t))| < M. (D.93)