THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Annexe D. Théorèmes du petit gain pour des systèmes paramétrés 177
(ii) pour tout ε ∈ R >0 , T (·,ε) est strictement croissante sur (0,∆) ;
telle que pour tout r ∈ (0,∆), ε ∈ R >0 , s ∈ [0,r) et t ≥ t 0 + T (r,ε), Φ(s,t) < ε.
Preuve abrégée. La preuve est la même que celle du Lemme 3.1 dans [121]. En effet, en
définissant, pour r ∈ (0,∆) et ε ∈ R >0 , l’ensemble :
A(r,ε) = { T ∈ R ≥0 : ∀s ∈ [0,r) ∀t ≥ t 0 + T Φ(s,t) < ε } , (D.7)
et ¯T (r,ε) = inf { A(r,ε) } , T (r,ε) = 2 ε
en invoquant les mêmes arguments que dans [121].
∫ ε
ε
2
¯T (r,s) ds + r ε
, les conditions (i) et (ii) sont satisfaites,
□
La proposition suivante est une variation de la Proposition A.1 dans [184].
Proposition D.1.1 Soient ∆ ∈ R >0 et Φ : [0,∆) × [t 0 ,∞) → R ≥0 tels que :
(i) pour tout r ∈ (0,∆), ε ∈ R >0 , il existe ¯T (r,ε) tel que, pour tout s ∈ [0,r) et t ≥ t 0 + ¯T (r,ε),
Φ(s,t) < ε ;
(ii) il existe δ ∈ K ∞ tel que pour tout ε ∈ (0,δ −1 (∆)), s ∈ [0,δ(ε)) et t ≥ t 0 , Φ(s,t) < ε ;
alors, il existe β ∈ KL tel que, pour s ∈ [0,∆) et t ≥ t 0 , Φ(s,t) < β(s,t − t 0 ).
Preuve. La preuve suit les mêmes lignes que la seconde partie de la preuve de la Proposition
2.5 dans [121]. Soit ∆ ∈ R >0 et définissons ϕ = δ −1 ∈ K ∞ . Ainsi, d’après (ii), pour tout
s ∈ [0,∆) et t ∈ [t 0 ,∞),
Φ(s,t) < δ −1 (s) = ϕ(s). (D.8)
Puisque la condition (i) est vérifiée, le Lemme D.1.1 est utilisé pour construire la fonction
T . Soit ψ(r,·) = T −1 (r,·) pour tout r ∈ (0,∆), qui hérite des propriétés suivantes de T :
– pour tout r ∈ (0,∆), ψ(r,·) : R >0 → R >0 est continue, bijective de R >0 dans R >0 ,
et strictement décroissante, de plus, on définit ψ(r,0) = ∞ en accord avec le fait que
lim
t→0 +ψ(r,t) = ∞ ;
– ψ(·,t) est strictement croissante sur (0,∆) pour tout t ∈ R >0 .
Fait D.1.1 Pour tout r ∈ (0,∆), s ∈ [0,r), t ≥ t 0 , Φ(s,t) ≤ ψ(r,t − t 0 ).
Preuve du fait. La preuve est la même que dans [121], mais nous avons choisi de la présenter
avec nos notations. De par la définition de T , pour tout r ∈ (0,∆), ε ∈ R >0 , s ∈ [0,r) et
t ≥ t 0 + T (r,ε) :
Φ(s,t) < ε. (D.9)
En remarquant que t − t 0 = T (r,ψ(r,t − t 0 )) si t − t 0 > 0, et que ψ(r,·) est une bijection de
R >0 dans R >0 , il s’en suit d’après (D.9) que, pour tout r ∈ (0,∆) et s ∈ [0,r), t ∈ (t 0 ,∞) :
Φ(s,t) < ψ(r,t − t 0 ). (D.10)