THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 7. Convergence semiglobale pratique d’observateurs émulés pour les NCS 147
avec γ2
W = γ2 e ◦ α−1 1 où α 1 provient de (4.35) dans la Définition 4.3.1. De même (7.16) permet
d’obtenir pour tout z 0 ∈ R nz et (ξ,W,w) ∈ L n ξ+1+n w
∞ :
}
|z(t)| ≤ max
{α 2 (|z 0 |),η ξ 2 (‖ξ‖ [t 0 ,t) ),ηW 2 (‖W ‖ [t0 ,t) ),ηw 2 (‖w‖ [t0 ,t) )
∀t ≥ t 0 ≥ 0, (7.18)
avec η W 2
= η e 2 ◦ α−1 1 .
Théorème 7.2.1 Supposons que les Hypothèses 7.2.1-7.2.4 soient vérifiées, pour tout ∆,ε ∈
R >0 il existe τ ∗ (ε,∆) ∈ [υ,τ 0 ) (défini dans (7.22)) tel que :
1. pour tout τ ∈ [υ,τ ∗ (ε,∆)), (ξ 0 ,e 0 ,z 0 ) ∈ R n ξ+n e+n z
et w ∈ L nw
∞ avec max { |ξ 0 |,|e 0 |,
|z 0 |, ‖w‖ ∞
}
< ∆, il existe µ ∈ R≥0 tel que, le long des solutions de (7.1)-(7.6) :
|(ξ(t),z(t),e(t))| ≤ µ ∀t ≥ t 0 ≥ 0; (7.19)
2. il existe β ∈ KL, σ ∈ K, ¯σ,δ ∈ KK, tels que pour tout τ ∈ [υ,τ ∗ (ε,∆)), (ξ 0 ,e 0 ,z 0 ) ∈
R n ξ+n e+n z
et w ∈ L nw
∞ avec max { }
|ξ 0 |,|e 0 |,|z 0 |, ‖w‖ ∞ < ∆, les solutions de (7.1)-(7.6)
satisfont, pour tout t ≥ t 0 ≥ 0,
|(ξ(t),e(t))| ≤ max { β(|(ξ 0 ,e 0 ,z 0 )|,t − t 0 ),σ(‖w‖ [t0 ,∞) ),¯σ(τ ∗ , ‖w‖ [t0 ,∞) ),δ(τ ∗ ,∆),ε } .
(7.20)
Preuve. Il suffit de montrer que le système (7.1)-(7.6) satisfait les conditions du Théorème
D.3.2. On identifie x 1 = e, x 2 = (ξ,z), ω 1 (x 1 ) = W , ω a 2 (x 2) = ξ, ω b 2 (x 2) = z. On peut
voir que (D.50) et (D.51) sont assurées avec ρ 1 (s) = α 2 (s) (où α 2 ∈ K provient de (4.35)),
ρ 2
(s) = ρ 2 (s) = s, pour s ∈ R ≥0 .
Soit ¯τ ∈ [υ,τ 0 ), les inégalités (D.159), (D.160), (D.161), (D.162) sont vérifiées pour tout
(ξ 0 ,e 0 ,z 0 ) ∈ R n ξ+n e+n z
, w ∈ L nw
∞ et τ ∈ [υ,¯τ), en identifiant u 1 = u 2 = w, d’après (7.13),
(7.17) et (7.18) en identifiant, pour (τ,s) ∈ [υ,¯τ) × R ≥0 (les fonctions ayant la même notation