THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 7. Convergence semiglobale pratique d’observateurs émulés pour les NCS 153
Dans [50], l’observateur ci-dessous est développé :
˙¯x = A¯x + Λ(y − ȳ) + Gγ (H ¯x + K (y − ȳ)) + φ(y) (7.45)
ȳ = C ¯x, (7.46)
où ¯x ∈ R nx , ȳ ∈ R ny , Λ est une matrice réelle de dimensions appropriées. Il est supposé qu’il
existe une matrice réelle symétrique définie positive P et ν ∈ R >0 tels que :
[
]
(A − ΛC) T P + P (A − ΛC) + νI P G + (H − KC) T
G T ≤ 0. (7.47)
P + (H − KC) 0
Lorsque les mesures du système sont transmises via un réseau ordonnancé avec comme
séquence d’instants de transmission {t i } i∈Z>0 telle que υ ≤ t i − t i−1 ≤ τ pour tout i ∈ Z >0 ,
υ, τ ∈ R >0 et t 0 ∈ R ≥0 l’instant initial. Le système (7.40)-(7.46) peut s’écrire sous la forme :
˙ξ = (A − ΛC)ξ − Λe + Gγ (H(ξ + z)) − Gγ (Hz + K(Cξ + e))
+φ (C(ξ + z)) − φ (e + C(ξ + z)) ∀t ∈ [t i−1 ,t i ](7.48)
ż = Az + Λ (e + Cξ) + Gγ (Hz + K(e + Cξ))
+φ (e + C(ξ + z)) ∀t ∈ [t i−1 ,t i ] (7.49)
ė = ˆf P (z) − CA(ξ + z) − CGγ (H(ξ + z)) − Cφ (C(ξ + z)) ∀t ∈ [t i−1 ,t i ](7.50)
ξ + = ξ (7.51)
z + = z (7.52)
e + = h(i,e), (7.53)
où z = ¯x, ˆf P est défini par (4.46) ou (4.48) et h par (4.29), (4.38), (E.1) ou (4.49). L’Hypothèse
7.2.3 est satisfaite d’après le lemme suivant.
Lemme 7.3.1 Pour tout ξ 0
t ≥ t 0 ≥ 0 :
|ξ(t)| ≤ max
∈ R n ξ, e ∈ L ne
∞, les solutions de (7.48) vérifient, pour tout
{β 2 (|ξ 0 |,t − t 0 ),γ e 2 (‖e‖ [t 0 ,t) ) }
, (7.54)
avec, pour s,t ∈ R ≥0 ,
√
(
)
λ max (P )
β 2 (s,t) =
λ min (P ) s exp ν
−
4λ max (P ) t ,
√
γ2(s) e = 4 λ max (P )
[
]
|P G|θ γ (|K|s) + |P Λ|s + |P |θ φ (s) .
ν λ min (P )
Preuve. Soient ξ 0 ∈ R n ξ
(7.48) :
et e ∈ L ne
∞ . Considérons V (ξ) = ξT P ξ, le long des solutions de
˙V = ξ T [ (A − ΛC) T P + P (A − ΛC) ] ξ + 2ξ T P G [γ (H(ξ + z)) − γ (Hz + K(Cξ + e))]
−2ξ T P Λe + 2ξ T P [φ (C(ξ + z)) − φ (e + C(ξ + z))] .