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46 Chapitre 2. Commande adaptative échantillonnée de systèmes non linéaires 2.6 Conclusion Dans ce chapitre, nous avons étendu la technique de redesign de type grand gain proposée dans [147], au cas où un paramètre inconnu affecte les dynamiques du système. Une loi de commande adaptative directe de Lyapunov est synthétisée à partir de l’analyse de du développement en série de Fliess de l’équation aux différences de la fonction de Lyapunov continu. Le problème de la paramétrisation polynomiale est contourné, non pas à l’aide d’une surparamétrisation, mais en reparamétrant la série. Une unique loi d’estimation est alors développée à partir de laquelle des conditions suffisantes sur le contrôleur d’ordre r sont déduites. Lorsque toutes les hypothèses sont validées, le discrétisé exact du système est semiglobalement borné et l’état étendu converge asymptotiquement vers une boule centrée en l’origine. Il est ensuite expliqué comment les hypothèses sur le contrôleur peuvent être utilisées afin de synthétiser une loi de commande d’ordre élevé. Une des techniques de redesign proposées est ainsi appliquée sur un exemple numérique. On constate qu’en augmentant l’ordre du contrôleur, les contraintes sur la période d’échantillonnage sont relaxées et la vitesse de convergence du système améliorée. Une des principales difficultés techniques de cette étude est l’absence de principe d’invariance de LaSalle pour le type de système considéré. En effet, en temps continu, ce dernier est généralement utilisé pour conclure quant à la stabilité des systèmes contrôlés par des lois de commande adaptative directes de Lyapunov. Pour cette raison, la propriété de stabilité obtenue dans ce chapitre ne permet pas de distinguer le vecteur d’état du système et l’estimé du paramètre. Cependant, les résultats obtenus en simulation indique le vecteur d’état converge effectivement vers une zone proche de l’origine, tandis que l’estimé tend vers une valeur constante. Le développement d’un principe d’invariance de LaSalle pour les systèmes discrets paramétrés incertains reste un problème ouvert qui permettrait d’affiner les résultats de ce chapitre.
Chapitre 3. Backstepping robuste échantillonné 47 Chapitre 3 Backstepping robuste échantillonné 3.1 Introduction Après nous être intéressés à la commande échantillonnée de systèmes aux paramètres incertains, nous considérons, dans ce chapitre, le cas des incertitudes de modèle et/ou des perturbations exogènes pour une nouvelle classe de systèmes, toujours à l’aide de fonctions de Lyapunov. La technique de commande considérée est de type backstepping. Il s’agit d’une méthode constructive non linéaire adaptée aux systèmes ayant une structure de type triangulaire inférieure (cf. [101], Chapitre 6 dans [172] et les références qui y sont citées). Nous en rappelons le principe pour les systèmes sous forme strict-feedback suivants d’ordre n, n ∈ Z >0 : ⎧ ẋ 1 = f 1 (x 1 ,x 2 ) ⎪⎨ ẋ 2 = x 3 + f 2 (x 1 ,x 2 ) ẋ 3 = x 4 + f 3 (x 1 ,x 2 ,x 3 ) (3.1) . ⎪⎩ ẋ n = u + f n (x 1 , . . . ,x n ). La synthèse du contrôleur s’effectue en n étapes. A la première, uniquement le sous-système ẋ 1 = f 1 (x 1 ,x 2 ) est considéré. Supposant que x 2 soit un signal de commande, un contrôleur virtuel x 2 = α 1 (x 1 ) est déterminé afin de garantir la stabilité globale asymptotique de l’origine, à l’aide d’une fonction de Lyapunov V 1 (x 1 ). Puisqu’en réalité x 2 n’est pas une commande, l’erreur z 2 = x 2 −α 1 (x 1 ) est introduite afin d’analyser l’évolution entre sa valeur réelle et celle désirée. A la seconde étape, le sous-système, dont l’état est (x 1 ,z 2 ) et la commande x 3 est étudié. En suivant la même procédure qu’à l’étape précédente, une loi de commande virtuelle α 2 (x 1 ,z 2 ) est attribuée à x 3 à l’aide de la fonction de Lyapunov V 2 (x 1 ,z 2 ) = V 1 (x 1 ) + 1 2 z2 2 . L’erreur z 3 = x 3 −α 2 (x 1 ,z 2 ) est ensuite introduite. Après n étapes, une loi de commande, u, et une fonction de Lyapunov, V (x) = V 1 (x 1 ) + 1 ∑ 2 zi 2 , sont obtenues et la stabilité globale i∈{2,...,n} asymptotique de l’origine du système bouclé de coordonnées (x 1 ,z 2 , . . . ,z n ) est garantie. Une brève analyse du changement de variables de (x 1 ,z 2 , . . . ,z n ) à (x 1 ,x 2 , . . . ,x n ) permet de déduire
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