THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

28 Chapitre 2. Commande adaptative échantillonnée de systèmes non linéaires
paramètre. Des algorithmes récursifs normalisés des moindres carrés sont alors utilisés afin
d’estimer chacun d’entre eux. Une loi de commande est ensuite synthétisée. Il s’agit donc ici
d’une méthode de commande adaptative indirecte qui présente l’inconvénient de rapidement
gagner en complexité, puisqu’à chaque fois que l’on augmente l’ordre du modèle approximé,
une nouvelle loi d’estimation est requise. De plus la classe de systèmes étudiée est relativement
restrictive. Dans [125, 177] des lois de commande adaptative sont proposées pour des
systèmes non linéaires incertains non pas en termes de paramètres inconnus, mais de manière
plus générale, au niveau de leurs champs de vecteurs et des perturbations extérieures. Il ne
s’agit donc pas d’identifier un paramètre inconnu, mais d’estimer le modèle du système localement
en temps et en espace, à chaque instant d’échantillonnage. L’analyse repose sur le
modèle d’Euler et nécessite que le système inverse soit stable dans [125] ou que des propriétés
de factorisation soient satisfaites dans [177]. Des contrôleurs adaptatifs discrets sont proposés
dans les études applicatives [60, 202]. Dans [60], la commande d’une machine synchrone, dont
le couple de charge et les résistances statoriques sont incertains, est proposée. Combinant
schémas de discrétisation approximés multi-pas et identification par la méthode des moindres
carrés, une loi de commande est obtenue qui garantit la stabilité du système. Dans [202], la
stabilisation de robots manipulateurs est assurée à l’aide d’une loi de commande également
multi-pas composée d’une part, du contrôleur de Slotine-Li discrétisé [179], et d’autre part,
d’un terme de compensation non linéaire. Cette étude repose sur l’approximé d’Euler du
modèle continu.
Analyser la stabilité d’un système contrôlé par une loi adaptative à l’aide de fonctions de
Lyapunov est souvent délicat. En effet, la fonction étudiée est généralement faible (cf. Annexe
B), c’est-à-dire qu’elle ne permet pas de conclure directement quant à la stabilité du système
complet. Deux techniques sont alors envisageables : d’une part, le principe d’invariance de
LaSalle qui ramène l’étude de la stabilité du système à l’ensemble pour lequel la dérivée de
la fonction s’annule, d’autre part les théorèmes de Matrosov, qui fournissent, dans certains
cas, une fonction de Lyapunov forte (cf. Annexe B) à partir de celle considérée [123, 127,
129, 130]. Dans [149], la commande adaptative par modèle de référence est étudiée à l’aide
de théorèmes de Matrosov pour les systèmes discrets paramétrés. Considérant l’approximé
d’Euler et supposant que des propriétés d’excitation persistante soient vérifiées, il est montré
que le système bouclé est uniformément semiglobalement pratiquement asymptotiquement
stable.
La commande par backstepping adaptatif de l’approximation d’Euler de systèmes sous
forme parametric strict-feedback est proposée dans [205], où la technique des σ-modifica–
tions est utilisée afin de garantir la stabilité de la loi d’estimation. A noter que dans [124], la
commande par backstepping pour les systèmes discrets est proposée. A la différence de [124],
les travaux de [205] considèrent des modèles approximés, donc incertains, paramétrés en la
période d’échantillonnage.
Dans ce chapitre, la stabilisation adaptative d’une classe de systèmes non linéaires, dont un