THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

182 Annexe D. Théorèmes du petit gain pour des systèmes paramétrés
De par (D.27) et (D.35), on a, pour tout t ∈ [t 0 ,∞) :
{
|x(t)| ≤ max σ t (t − t 0 ),σ x (r),σ y (β(r,0)),σ y (γ u (‖u‖ [t0 ,t) )),σy (c),
}
σ u (‖u‖ [t0 ,t) ),c x
}
≤ max
{σ t (t − t 0 ),ˆσ(r),σ y (γ u (‖u‖ [t0 ,t) )),σu (‖u‖ [t0 ,t) ),σy (c),c x , (D.38)
par définition des Mi
r et ˆT i r , on déduit que :
|x(t 0 + ˆT
{
i r )| ≤ max Mi r ,σy (γ u (‖u‖ [t0 ,t) )),σu (‖u‖ [t0 ,t)
}. ) (D.39)
Le fait ci-dessous nous permet de déduire la propriété d’attractivité désirée.
Fait D.1.2 Pour tout i ∈ Z ≥0 , les solutions de (D.1)-(D.3) satisfont :
{ }
|y(t)| ≤ max (γ y ) i (β(r,0)),˜γ u (‖u‖ [t0 ,t) ),c ∀t ∈ [t 0 + ˆT i r ,∞).
(D.40)
Preuve du fait. La preuve est réalisée par récurrence sur i. Premièrement, notons que pour
i = 0, (D.40) est assuré d’après (D.35). Supposons que (D.40) soit satisfait pour i ∈ Z ≥0 i.e.
pour t ∈ [t 0 + ˆT i r,∞)
:
{ }
|y(t)| ≤ max (γ y ) i (β(r,0)),˜γ u (‖u‖ [t0 ,t) ),c . (D.41)
Pour t ∈ [t 0 + ˆT i+1 r ,∞), d’après (D.25), (D.37) et (D.39),
{
|y(t)| ≤ max β(|x(t 0 + ˆT i r )|,t − (t 0 + ˆT
}
i r )),γ y (‖y‖ [t0 + ˆT i r,t)),γu (‖u‖ [t0 + ˆT i r,t)),c y
{
}
≤ max β(Mi r ,t − (t 0 + ˆT i r )),˜γu (‖u‖ [t0 ,t) ),γy (‖y‖ [t0 + ˆT i r,t)),c y
{
}
≤ max (γ y ) i+1 (β(r,0)),˜γ u (‖u‖ [t0 ,t) ),γy (‖y‖ [t0 + ˆT i r,t)),c y . (D.42)
Deux cas doivent être distingués.
Cas 1 : γ y (‖y‖ [t0 + ˆT r i ,t)) < max {(γ y ) i+1 (β(r,0)),˜γ u (‖u‖ [t0 ,t) ),c y
}
.
Pour t ∈ [t 0 + ˆT i+1 r ,∞),
{
}
|y(t)| ≤ max (γ y ) i+1 (β(r,0)),˜γ u (‖u‖ [t0 ,t) ),c y
et (D.40) est satisfait puisque c y ≤ c.
Cas 2 : γ y (‖y‖ [t0 + ˆT r i ,t)) ≥ max {(γ y ) i+1 (β(r,0)),˜γ u (‖u‖ [t0 ,t) ),c y
}
.
D’après (D.41) et (D.42), pour t ∈ [t 0 + ˆT r
i+1 ,∞),
|y(t)| ≤ γ y (‖y‖ ( [t0 + ˆT i
{ r,t))
})
≤ γ y max (γ y ) i (β(r,0)),˜γ u (‖u‖ [t0 ,t) ),c { (˜γ ) }
= max (γ y ) i+1 (β(r,0)),γ y u (‖u‖ [t0 ,t) ) ,γ y (c)
(D.43)