THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

96 Chapitre 5. Conditions suffisantes pour l’émulation d’observateurs pour les NCS
est en accord avec le fait que le problème est résolu lorsque les contraintes de communication
sont ignorées (e = 0). Afin de soulager les notations, nous avons choisi d’omettre cette
dépendance. Dans la suite de l’analyse, nous prendrons implicitement β 2 qui dépend, non pas
de τ, mais des bornes sur τ indiquées dans les énoncés des théorèmes et corollaires.
Remarque 5.2.2 On remarque que ζ ∈ K, puisque cette fonction continue est strictement
croissante sur [0, 1 L ln( 1 ρ
)) et ζ(0) = 0.
L’hypothèse de stabilité suivante sur le système (5.2) garantira la bornitude des états du
système (5.1)-(5.6).
Hypothèse 5.2.4 Le système (5.2) est UEBEB avec pour entrée (ξ,e,w) et des gains linéaires,
i.e. il existe α ∈ K et γ ξ 3 ,γe 3 ,γw 3 ∈ R ≥0 tels que, pour tout z 0 ∈ R nz , (ξ,e,w) ∈ L n ξ+n e+n w
∞ , les
propriétés suivantes sont satisfaites par les solutions de (5.2) :
|z(t)| ≤ α(|z 0 |) + γ ξ 3 ‖ξ‖ [t 0 ,t) + γe 3 ‖e‖ [t 0 ,t) + γw 3 ‖w‖ [t 0 ,t)
∀t ≥ t 0 ≥ 0. (5.23)
Remarque 5.2.3 Tout au long de cette étude, les gains des perturbations exogènes, γi
w où
i ∈ {1,2,3}, sont supposés linéaires uniquement afin de simplifier l’exposé. En effet, tous les
résultats s’appliquent immédiatement pour des gains non linéaires γ w i ∈ K.
Le théorème principal peut maintenant être énoncé.
Théorème 5.2.1 Supposons que les Hypothèses 5.2.1- 5.2.4 soient vérifiées, si τ ∈ [υ,τ 1 ) où
( [
] )
τ 1 = 1 L ln La 1 + γ1 e(γξ 2 +γz 2 γξ 3 )+γz 2 γe 3
[
] , (5.24)
Lρa 1 + γ1 e(γξ 2 +γz 2 γξ 3 )+γz 2 γe 3
si L = 0,
(
1
τ 1 = lim
L→0
L ln
[
La 1 +
[
γ1 e(γξ 2 +γz 2 γξ 3 )+γz 2 γe 3
]
Lρa 1 + γ1 e(γξ 2 +γz 2 γξ 3 )+γz 2 γe 3
]
)
=
a 1 (1−ρ)
γ e 1 (γξ 2 +γz 2 γξ 3 )+γz 2 γe 3
, (5.25)
alors le système (5.1)-(5.6) est UEBEB avec w comme entrée et il existe β ∈ KL, σ ∈ K,
¯σ,ε ∈ KK tels que, pour tout ∆ ∈ R ≥0 , (ξ 0 ,e 0 ,z 0 ) ∈ R n ξ+n e+n z
avec |(ξ 0 ,e 0 ,z 0 )| < ∆, w ∈ L nw
∞ :
|(ξ(t),e(t))| ≤ β (|(ξ 0 ,e 0 ,z 0 )|,t − t 0 ) + σ(‖w‖ ∞
) + ¯σ(τ, ‖w‖ ∞
) + ε(τ,∆) ∀t ≥ t 0 ≥ 0.
(5.26)
Preuve. Dans un premier temps, il est prouvé que le système (5.1)-(5.6) est positivement
complet pour toute perturbation w ∈ L nw
∞ . La bornitude des variables ξ, e et z est ensuite
déduite. Finalement, la propriété de convergence désirée (5.26) est obtenue.
Etape 1 : Complétude positive.
Soient (ξ 0 ,e 0 ,z 0 ) ∈ R n ξ+n e+n z
, w ∈ L nw
∞ et τ ∈ [υ,τ 1). Soit [t 0 ,t max ) l’intervalle d’existence
maximal du système (5.1)-(5.6), où t max ∈ (t 0 ,∞]. Notons que la Proposition 5.2.1 peut