THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 3. Backstepping robuste échantillonné 61
3.6 Discussions
3.6.1 Application aux systèmes de la forme (3.1)
Bien que présentées pour la classe de systèmes (3.14)-(3.15), les méthodes de ce chapitre
peuvent s’appliquer aux systèmes de la forme :
⎧
ẋ 1 = f 1 (x 1 ,x 2 ) + d 1
⎪⎨ ẋ 2 = x 3 + f 2 (x 1 ,x 2 ) + d 2
(3.54)
.
⎪⎩
ẋ n = u + f n (x) + d n .
En effet, pour le cas de la stabilisation entrée-état, il suffit de s’assurer qu’il existe une paire
commande virtuelle/fonction de Lyapunov SP-SEE suffisamment dérivable pour l’approximation
d’Euler du premier sous-système. Ainsi, l’Hypothèse 3.4.1 est vérifiée et une paire
commande/fonction de Lyapunov SP-SEE est obtenue, d’après le Théorème 3.4.1, pour l’approximé
d’Euler du système ayant pour état (x 1 ,x 2 ). Cette dernière permettra ensuite de valider
l’Hypothèse 3.4.1 dans le but d’en déterminer une pour l’approximé d’Euler du système
ayant pour état (x 1 ,x 2 ,x 3 ). En procédant par récurrence, un retour d’état est obtenu pour
l’approximé d’Euler de (3.54).
Pour la compensation des perturbations, des conditions supplémentaires sont requises
comme le fait que les d i ’s, i ∈ {1, . . . ,n − 1}, doivent s’annuler à l’origine, être suffisamment
dérivables ou qu’aucune fonction sat ne soit utilisée avant la dernière étape afin d’obtenir un
contrôleur localement uniformément borné.
3.6.2 Cas des approximations d’ordre supérieur
L’extension aux approximations d’ordre supérieur est loin d’être triviale. Que l’on aborde
la question à l’aide du développement en série de Fliess tronquée de l’équation aux différences
de la fonction de Lyapunov du premier sous-système, comme dans [29], ou par des approximations
du type de celles de [65], la perte de structure originelle du système continu est à
l’origine de difficultés majeures.
Pour le cas de la compensation des incertitudes, on pourrait imaginer une solution similaire
à celle développée dans §3.5, en supposant que les termes incertains soient suffisamment
dérivables et que des bornes de chacune de leurs dérivées successives soient connues. Ce cas
de figure semble toutefois peu réaliste en pratique, c’est pourquoi nous avons choisi de ne pas
poursuivre cette voie. De la même manière, la stabilisation entrée-état nécessiterait ou du
moins, serait facilitée par l’application de conditions additionnelles sur les signaux comme,
par exemple, le fait qu’ils restent constants entre deux instants d’échantillonnage.
Puisque de telles extensions requièrent une analyse complexe et des hypothèses restrictives,
nous nous contentons de la synthèse de contrôleurs pour des approximés d’Euler. Il est montré,
dans la section suivante, que ceux-ci fournissent des résultats très satisfaisants.