THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

194 Annexe D. Théorèmes du petit gain pour des systèmes paramétrés
En incorporant les bornes de (D.96) et (D.97) dans (D.83), on déduit :
{
|ω2 b (x 2(t))| ≤ max α 2 (|ω2 b (x 2(t 0 ))|),η ω 1
2 (β 1(|ω 1 (x 1 (t 0 ))|,0)),
η ω 1
2 (γωa 2
1 (β 2(|ω 2 (x 2 (t 0 ))|,0))),η ω 1
2 (γωa 2
1 (γu 2 (‖u 2‖ [t0 ,t) ))),
η ω 1
2 (γu 1 (‖u 1 ‖ [t0 ,t) )),ηω 1
2 (γωb 2
1 (α 2(|ω b 2(x 2 (t 0 ))|))),
η ω 1
2 (γωb 2
1 (ηωa 2
2 (β 2(|ω 2 (x 2 (t 0 ))|,0)))),η ω 1
2 (γωb 2
1 (ηωa 2
2 (γu 2 (‖u 2 ‖ [t0 ,t) )))),
η ω 1
2 (γωb 2
1 (ηu 2 (‖u 2‖ [t0 ,t) ))),ηω 1
2 (m),ηωa 2
2 (β 2(|ω 2 (x 2 (t 0 ))|,0)),
η ωa 2
2 (γω 1
2 (β 1(|ω 1 (x 1 (t 0 ))|,0))),η ωa 2
2 (γω 1
2 (γu 1 (‖u 1 ‖ [t0 ,t) ))),
η ωa 2
2 (γω 1
2 (γωb 2
1 (α 2(|ω b 2 (x 2(t 0 ))|)))),
η ωa 2
2 (γω 1
2 (γωb 2
1 (ηω 1
2 (β 1(|ω 1 (x 1 (t 0 ))|,0))))),
η ωa 2
2 (γω 1
2 (γωb 2
1 (ηω 1
2 (γωa 2
1 (β 2(|ω 2 (x 2 (t 0 ))|,0)))))),
η ωa 2
2 (γω 1
2 (γωb 2
1 (ηω 1
2 (γωa 2
1 (γu 2 (‖u 2 ‖ [t0 ,t) )))))),
η ωa 2
2 (γω 1
2 (γωb 2
1 (ηω 1
2 (γu 1 (‖u 1 ‖ [t0 ,t) ))))),
η ωa 2
2 (γω 1
2 (γωb 2
1 (ηω 1
2 (γωb 2
1 (α 2(|ω b 2 (x 2(t 0 ))|)))))),
η ωa 2
2 (γω 1
2 (γωb 2
1 (ηω 1
2 (γωb 2
1 (ηωa 2
2 (β 2(|ω 2 (x 2 (t 0 ))|,0))))))),
η ωa 2
2 (γω 1
2 (γωb 2
1 (ηω 1
2 (γωb 2
1 (ηωa 2
2 (γu 2 (‖u 2 ‖ [t0 ,t) ))))))),
η ωa 2
2 (γω 1
2 (γωb 2
1 (ηω 1
2 (γωb 2
1 (ηu 2 (‖u 2‖ [t0 ,t) )))))),
η ωa 2
2 (γω 1
2 (γωb 2
1 (ηω 1
2 (m)))),ηωa 2
2 (γω 1
2 (γωb 2
1 (ηu 2 (‖u 2 ‖ [t0 ,t) )))),
η ωa 2
2 (γu 2 (‖u 2‖ [t0 ,t) )),ηωa 2
2 (m),ηu 2 (‖u 2‖ [t0 ,t) ) }. (D.98)
Dans la suite, en remarquant que pour tout x 2 ∈ R nx 2 , d’après la Proposition A.1.2,
|ω 2 (x 2 )| ≤ max { 2ω a 2(x 2 ),2ω b 2(x 2 ) } , (D.99)
on prouvera que ω 2 (x 2 ) est borné en utilisant (D.97) et (D.98).
D’autre part, d’après (D.82) et (D.83), pour tout t ∈ [t 0 ,t max ) :
{
|ω2(x a 2 (t))| ≤ max β 2 (|ω 2 (x 2 ( t 2 ))|, t }
2 ),γω 1
2 (‖ω 1(x 1 )‖ [
t
2 ,t)),γu 2 (‖u 2 ‖ [
t
,t)) , (D.100)
2
|ω b 2(x 2 (t))| ≤ max { α 2 (|ω b 2(x 2 ( t 2 ))|),ηω 1
2 (‖ω 1(x 1 )‖ [
t
2 ,t)),ηωa 2
2 (‖ωa 2(x 2 )‖ [
t
2 ,t)),
η u 2 (‖u 2 ‖ [
t
2 ,t))} . (D.101)