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220 Annexe E. Fonction de Lyapunov pour le protocole TOD modifié en appliquant (E.3) et remarquant que sat( √ ( l|e 1 |) sat( √ ) l|e 1 |) − 2 ≤ 0 (E.5) ∣ et que s ↦→ ∣sat( √ ( ls) sat( √ ∣∣ ls) − 2)∣ s est croissante sur R≥0 (puisque sat est croissante sur R ≥0 ), on a : |h(e)| 2 = |e| 2 ∣ − ∣sat( √ ( l|e 1 |) sat( √ )∣ ∣∣ l|e 1 |) − 2 |e1 | 2 ≤ = |e| 2 − 1 |sat(|e|) (sat(|e|) − 2)| |e|2 l [1 + 1 ] l sat(|e|) (sat(|e|) − 2) |e| 2 . (E.6) Ainsi, pour tout e ∈ R ne , où α 3 (s) = W (h(e)) − W (e) = |h(e)| − |e| [ 1 − ≤ −α 3 (W (e)), (E.7) ] √1 + 1 l sat(s) (sat(s) − 2) s avec α 3 ∈ K. Pour W (e) ≥ 1, on retrouve la même inégalité que pour le TOD : √ l−1 W (h(e)) ≤ l W (e). (E.8) Considérons le cas où W (e) ≤ 1. Une fonction ϱ ∈ K ∞ est construite, comme dans la preuve de la Proposition 4.3.1, de telle sorte que, pour Ŵ = ϱ ◦ W et tout e ∈ Rne , √ l − 1 Ŵ (h(e)) ≤ Ŵ (e), l on prend par exemple : { ( ∫ ) s exp 2 1 a(η) ϱ(s) = dη pour s > 0 0 pour s = 0, (E.9) (E.10) 2 π ∫ s 0 min{η, 2√ l √ l−1 α 3 (η)} avec a(s) = dη. On remarque que, d’après la preuve de la Proposition 4.3.1, les propriétés Lipschitziennes de W sont également vérifiées par Ŵ 1+η 2 puisque ρ ∈ C 1 (R ≥0 ,R ≥0 ). Soit { W (e) pour W (e) ≥ 1 ˜W (e) = Ŵ (e) pour W (e) < 1, (E.11) ˜W est continue sur R ne puisque ϱ(1) = 1. Le protocole TOD modifié est bien UGAS, d’après la Définition 4.3.1 avec { α 1 (s) = α 2 (s) = s pour s ≥ 1 ϱ(s) pour s ∈ [0,1), (E.12) √ l−1 qui sont bien de classe K ∞ et ρ = l . De plus on peut montrer que ˜W est localement Lipschitzienne, sachant que W et Ŵ le sont et que ˜W est continue sur R ≥0 . □
Annexe F. Observateur adaptatif continu-discret pour des systèmes affines en l’état 221 Annexe F Observateur adaptatif continu-discret pour des systèmes affines en l’état
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avec ⎧ ⎪⎨ ⎪ ⎩ p 011 (x,u
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