THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

102 Chapitre 5. Conditions suffisantes pour l’émulation d’observateurs pour les NCS
5.2.2 Convergence asymptotique
Dans certains cas, une propriété de robustesse plus forte que l’Hypothèse 5.2.1 est garantie
par l’observateur.
Hypothèse 5.2.5 Il existe β 1 ∈ KL, γ1 e,γw 1 ∈ R ≥0 tels que, pour tout ξ 0 ∈ R n ξ, (e, w) ∈
L∞ ne+nw et z(t) défini pour tout t ∈ R ≥0 , les solutions de (5.1) vérifient :
|ξ(t)| ≤ β 1 (|ξ 0 |,t − t 0 ) + γ e 1 ‖e‖ [t 0 ,t) + γw 1 ‖w‖ [t 0 ,t)
∀t ≥ t 0 ≥ 0. (5.52)
Remarque 5.2.7 L’Hypothèse 5.2.5 implique que le système (5.1) est stable entrée-état visà-vis
de (z,e,w) et peut être vérifiée à l’aide de la Proposition B.2.2. La condition « z(t) défini
pour tout t ∈ R ≥0 » signifie que la variable z n’a pas besoin d’être globalement bornée mais
simplement définie pour tout t ∈ R ≥0 .
Lorsque l’Hypothèse 5.2.3 est satisfaite avec γ2 z = 0, la stabilité des systèmes (5.1),(5.4)
d’une part et (5.3),(5.6) de l’autre, peut être analysée séparément du système global (5.1)-
(5.6) à l’aide du théorème du petit gain classique de [86]. De cette manière, aucune condition
de bornitude n’est désormais nécessaire pour étudier le système (5.1)-(5.6), l’Hypothèse 5.2.4
est alors relaxée comme suit.
Hypothèse 5.2.6 Le système (5.2) est uniformément positivement complet pour les entrées
(ξ,e,w) ∈ L n ξ+n e+n w
∞ i.e. il existe ν 1 ,ν 2 ,ν 3 ∈ K et c ∈ R ≥0 tels que, pour tout z 0 ∈ R nz ,
(ξ,e,w) ∈ L ne+n ξ+n w
∞ , les solutions de (5.2) satisfont :
|z(t)| ≤ ν 1 (t − t 0 ) + ν 2 (|z 0 |) + ν 3 (‖(ξ,e,w)‖ [t0 ,t) ) + c ∀t ≥ t 0 ≥ 0. (5.53)
Le théorème suivant peut alors être énoncé.
Théorème 5.2.2 Supposons que les Hypothèses 5.2.2,5.2.5,5.2.6 soient satisfaites et que
l’Hypothèse 5.2.3 soit garantie avec γ2 z = 0, si τ ∈ [υ,τ 2) où :
( )
τ 2 = 1 L ln La 1 +γ ξ 2 γe 1
, (5.54)
si L = 0,
(
1
τ 2 = lim
L→0
L ln
Lρa 1 +γ ξ 2 γe 1
La 1 +γ ξ 2 γe 1
Lρa 1 +γ ξ 2 γe 1
)
= a 1(1−ρ)
, (5.55)
γ1 eγξ 2
comme
alors le système (5.1)-(5.6) est uniformément positivement complet avec w ∈ L nw
∞
entrée et il existe β ∈ KL, σ ∈ K, ¯σ ∈ KK tels que, pour tout (ξ 0 ,e 0 ) ∈ R n ξ+n e
, w ∈ L nw
∞ :
|(ξ(t),e(t))| ≤ β (|(ξ 0 ,e 0 )|,t − t 0 ) + σ(‖w‖ ∞
) + ¯σ(τ, ‖w‖ ∞
) ∀t ≥ t 0 ≥ 0. (5.56)
Preuve. Le preuve suit les mêmes lignes que celles du Théorème 5.2.1. La complétude positive
est prouvée en invoquant la Proposition 5.2.1, les Hypothèses 5.2.5 et 5.2.6, en exploitant le
fait que γ2
z = 0 et que β 1 dépende uniquement de |ξ 0 | et en appliquant la condition de
petit gain induite par τ < τ 2 . La propriété de convergence (5.56) est démontrée de la même
manière que (5.26) avec ici γ2 z = 0. Ainsi ε dans (5.42) est égal à 0 ici et ¯σ et σ sont obtenus
en remplaçant γ2 z par 0 dans (5.42).