THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 5. Conditions suffisantes pour l’émulation d’observateurs pour les NCS 105
On peut vérifier que les fonctions de Lyapunov données dans §4.3.2 pour les protocoles
RR, TOD et le cas échantillonné satisfont les conditions de l’Hypothèse 5.2.2.
Nous nous intéressons maintenant à l’Hypothèse 5.2.3. Seul le protocole RR est considéré :
les résultats pour le TOD et le cas échantillonné suivent directement en utilisant W (e) = |e|,
pour e ∈ R ne . Notons que, puisque le protocole RR est dead-beat stable en l pas, la fonction
W de §4.3.2 peut être écrit, pour i ∈ Z ≥0 et e ∈ R ne ,
√ ∑
W (i,e) =
a 2 j (i)|e j| 2 = |D(i)e|, (5.72)
j∈{1,...,l}
où D(i) = diag (a 1 (i)I n1 , . . . ,a l (i)I nl ) avec a j (i) des coefficients à temps variant tels que pour
tout i ∈ Z ≥0 et j ∈ {1, . . . ,l} il existe un unique k ∈ {1, . . . ,l} tel que a 2 j (i) = k. On en déduit
alors que |D(i)| = √ l, ainsi, pour i ∈ Z ≥0 et e ∈ R ne ,
〈 〉
∂W (i,e)
,g(t,ξ,e,z) ≤ |D(i)ė|
∂e
(
∣
∣∣
= ∣D(i) ˆfP (z) − CA(ξ + z))∣
,
pour le bloqueur d’ordre zéro, on a :
〈 〉
∂W (i,e)
,g(t,ξ,e,z) ≤
√ l|CA|(|ξ| + |z|),
∂e
pour la fonction de blocage de type Pred, i.e. ˆfP (z) = CAz, le terme en z est éliminé :
〈 〉
∂W (i,e)
,g(t,ξ,e,z) ≤
√ l|CA||ξ|.
∂e
Nous constatons que l’Hypothèse 5.2.3 est satisfaite pour le protocole RR avec les bloqueurs
ZOH et Pred. Les coefficients obtenus pour les différentes configurations de réseau sont
résumés dans le Tableau 5.1. Il faut ajouter que dans certains cas spécifiques, des coefficients
plus précis peuvent être déduits en tirant parti des possibles particularités de la structure de
CA (cf. discussion dans l’Exemple 3 dans [151]).
Puisque nous supposerons, dans un premier temps, que le système (5.57) est stable, la
dernière condition à vérifier avant de pouvoir appliquer le Corollaire 5.2.1 est (5.48). En
écrivant ξ = x − z, il est montré que le système (5.62) est stable entrée-état vis-à-vis de (x,e)
avec des gains linéaires, l’équation (5.48) sera alors obtenue d’après §5.2. Le système (5.62)
peut être écrit sous la forme :
ż = (A − ΛC)z + Λ(e + Cx). (5.73)
On en déduit, parallèlement au Lemme 5.3.1, qu’il existe β 3 ∈ KL tel que, pour tout z 0 ∈ R nz ,
(x,e) ∈ L nx+ne
∞ :
|z(t)| ≤ β 3 (|z 0 |,t − t 0 ) + γ e 1 ‖e‖ [t 0 ,t) + γe 1 |C| ‖x‖ [t 0 ,t)
∀t ≥ t 0 ≥ 0, (5.74)