THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 6. Extension des observateurs de Karafyllis-Kravaris aux NCS 121
Remarque 6.4.4 De la même manière que (6.14) et l’Hypothèse 6.4.2 sont équivalentes, on
peut montrer que (6.34) l’est avec :
|L fP h i P (h O(z)) − L fP h i P (h O(z) + ξ)| ≤ ¯σ i (|x 0 | + |z 0 |,t) + K i ‖e‖ [t0 ,t) , (6.35)
ce qui permet de faire le lien entre l’Hypothèse 6.4.3 et (6.20).
6.4.2 Pour des protocoles à excitation persistante
On se concentre dans cette sous-section sur les protocoles définits ci-dessous. La séquence
de transmission {t i } i∈Z>0 ⊂ R ≥0 est définie comme dans §6.3. On nomme {t j i } i∈Z >0
⊂ R ≥0 la
sous-séquence d’instants auxquels le nœud j ∈ {1, . . . ,l} a accès au réseau.
Définition 6.4.1 On appelle protocole à excitation persistante tout protocole qui satisfait les
propriétés suivantes :
(i) chaque séquence {t j i } i∈Z >0
est non bornée ;
(ii) pour tout j ∈ {1, . . . ,l} il existe υ j ∈ R >0 , τ j ∈ [υ,∞) tels que υ j ≤ t j i+1 − tj i ≤ τ j pour
tout i ∈ Z ≥0 .
Les instants de transmission d’un même nœud ne sont donc plus périodiques. La condition
(i) assure qu’aucun nœud n’est ignoré après un temps donné, tandis que (ii) garantit l’existence
d’une borne supérieure sur l’intervalle de temps séparant deux instants de transmission
d’un même nœud. Ces deux propriétés évitent que l’information d’un nœud soit ou tende à
être oubliée avec le temps. Ce type de protocoles a été étudié dans [190]. On constate que
le protocole RR est bien à excitation persistante tandis que rien ne garantit a priori que le
TOD le soit. Concernant la stabilité éventuelle de tels protocoles, il est difficile de statuer de
manière générale puisqu’ils ne sont pas définis par leur comportement à chaque instant de
transmission mais sur un intervalle de temps, à la différence des Définitions 4.2.1 et 4.3.1. De
plus, dans ce chapitre contrairement au précédent, l’analyse ne repose pas sur la stabilité du
protocole.
Théorème 6.4.1 Supposons que les Hypothèses 6.4.1-6.4.3 soient vérifiées, pour les protocoles
à excitation persistante, si
l∑
τ j K j < 1 (6.36)
j=1
alors le système (6.23)-(6.28) est RFC et il existe β ∈ KL tel que, pour tout (ξ 0 ,z 0 ,e 0 ) ∈
R n ξ+n z+n e
:
|(ξ(t),e(t))| ≤ β(|ξ 0 | + |z 0 | + |e 0 |,t). (6.37)