THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

38 Chapitre 2. Commande adaptative échantillonnée de systèmes non linéaires
Sachant que Γ = −σˆγ, γ ∈ [0,1] et ˆγ = γ − ˜γ,
∆W (x,˜γ)
T
≤ −cV (x) + σ(γ − ˜γ)˜γ + αT 2 σ2 (γ − ˜γ) 2 + O(T r+1 )
≤ −cV (x) − (σ − σ 2 αT 2 )˜γ2 + (σ − σ 2 αT )γ˜γ + αT 2 σ2 + O(T r+1 )
≤ −cV (x) − σ(1 − σ αT 2 )˜γ2 + σ|γ˜γ| + αT 2 σ2 + O(T r+1 ), (2.38)
en utilisant le fait que |γ˜γ| ≤ 1 2 γ2 + 1 2 ˜γ2 (Proposition A.1.1),
∆W (x,˜γ)
T
par conséquent, puisque |γ| < 1,
∆W (x,˜γ)
T
≤ −cV (x) − σ(1 − σ αT 2 )˜γ2 + 1 2 σγ2 + 1 2 σ˜γ2 + αT 2 σ2 + O(T r+1 ), (2.39)
≤ −cV (x) − 1 2 σ(1 − σαT )˜γ2 + 1 2 σ(1 + σαT ) + O(T r+1 ). (2.40)
Prenons π ∈ (0,1), et définissons a = min{c,σαπ}, T ∗ = 1−π
ασ , pour tout T ∈ (0,T ∗ ), 1−σαT >
π, dès lors, pour T ∈ (0,T ∗ ) suffisamment petit,
∆W (x,˜γ)
T
≤ −cV (x) − σπα 1
2α ˜γ2 + 1 2 σ(1 + σαT ) + O(T r+1 )
≤ −aW (x,˜γ) + 1 2 σ(2 − π) + O(T r+1 ). (2.41)
Pour tout ∆ ∈ R >0 , la notation η ∆ est utilisée pour dénommer un réel positif qui garantit
O((T ∗ ) r+1 ) ≤ (T ∗ ) r+1 η ∆ dans (2.41), pour |(x, ˜γ)| ≤ ∆ (η peut être considérée comme
une fonction croissante en ∆). Il est maintenant montré que le système (2.8) est semiglobalement
borné. Soit ∆ ∈ R >0 , ¯∆ ∈ R>0 suffisamment grand tel que ¯∆ > max{β −1 ◦
¯β(∆),β −1 ( (
) 1
1
2a σ(2 − π)) }, et |(x 0 ,˜γ 0 )| ≤ ∆. On définit ¯T = min{T ∗ , 1 a , r+1
}.
aβ( ¯∆)− 1 2 σ(2−π)
η ¯∆
Notons [0,k max T ), l’intervalle maximal d’existence du système discrétisé exact (2.8) couplé à
la commande et la loi d’estimation considérée, où k max ∈ Z >0 ∪ {∞}. Nous allons montré que
k max = ∞ et que pour tout k ∈ Z ≥0 , |(x(kT ),˜γ(kT ))| < ¯∆ pour T ∈ (0, ¯T ) suffisamment petit,
sachant que |(x 0 ,˜γ 0 )| ≤ ∆. Puisque les champs de vecteurs du système (2.1) sont analytiques,
en prenant T suffisamment petit, la solution du discrétisé exact de (2.1) contrôlé par u r sd est
bien définie à l’instant t = T , ainsi d’après (2.41),
W (x(T ),˜γ(T )) ≤ (1 − T a)W (x 0 ,˜γ 0 ) + T σ 2 (2 − π) + T r+2 η ∆ ,
puisque ¯∆ > β −1 ◦ ¯β(∆), on a ¯∆ > ∆, ainsi
W (x(T ),˜γ(T )) ≤ (1 − T a)W (x 0 ,˜γ 0 ) + T σ 2 (2 − π) + T r+2 η ¯∆ , (2.42)
d’après (2.3) et puisque |(x 0 ,˜γ 0 )| ≤ ∆ < ¯∆, on a :
W (x(T ),˜γ(T )) ≤ (1 − T a) ¯β(∆) + T σ 2 (2 − π) + T r+2 η ¯∆
≤ (1 − T a)β( ¯∆) + T σ 2 (2 − π) + T r+2 η ¯∆. (2.43)