THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 5. Conditions suffisantes pour l’émulation d’observateurs pour les NCS 95
Puisque (5.15) est satisfaite pour i ∈ Z ≥0 , que le protocole est UGES et que la condition
(4.10) est vérifiée, pour tout t ∈ [t i+1 ,t i+2 ] :
|W (i + 1,e(t))| ≤ ρ exp(Lτ)W
(
(i,e(t i+1 ))
)
+ γ ξ 2 ‖ξ‖ [t i ,t) + γz 2 ‖z‖ [t i ,t) + γw 2 ‖w‖ 1
[t i ,t) L
[exp(Lτ) − 1]
[
≤ ρ exp(Lτ) ρ i exp((i + 1)Lτ)W (0,e(t 0 ))
(
)
+ γ ξ 2 ‖ξ‖ [t 0 ,t) + γz 2 ‖z‖ [t 0 ,t) + γw 2 ‖w‖ 1
[t 0 ,t) L
[exp(Lτ) − 1]
× ∑
]
(ρ exp(Lτ)) j
j∈{0,...,i}
(
)
+ γ ξ 2 ‖ξ‖ [t 0 ,t) + γz 2 ‖z‖ [t 0 ,t) + γw 2 ‖w‖ 1
[t 0 ,t) L
[exp(Lτ) − 1]
≤ ρ i+1 (
exp((i + 2)Lτ)W (0,e(t 0 ))
)
+ γ ξ 2 ‖ξ‖ [t 0 ,t) + γz 2 ‖z‖ [t 0 ,t) + γw 2 ‖w‖ 1
[t 0 ,t) L
[exp(Lτ) − 1]
∑
× (ρ exp(Lτ)) j .
j∈{0,...,i+1}
(5.18)
L’inégalité (5.15) est bien vérifiée pour i + 1, ainsi elle l’est pour tout i ∈ Z ≥0 . On en déduit
que pour tout i ∈ Z ≥0 , t ∈ [t i ,t i+1 ] :
|W (i,e(t))| = ρ i (
exp((i + 1)Lτ)W (0,e(t 0 ))
+ γ ξ 2 ‖ξ‖ [t 0 ,t) + γz 2 ‖z‖ [t 0 ,t) + γw 2 ‖w‖ [t 0 ,t)
)
a 1 ζ(τ),
(5.19)
exp(Lτ)−1
avec ζ(τ) =
a 1 L(1−ρ exp(Lτ))
. Si ρ = 0, d’après (4.9), (5.14) est satisfaite avec n’importe quelle
fonction β 2 ∈ exp −KL. Dans le cas où ρ ≠ 0, pour tout i ∈ Z ≥0 , t ∈ [t i ,t i+1 ], puisque τ < τ 0
et que donc ln(ρ exp(Lτ)) < 0, et que t−t 0
τ
≤ i + 1 :
Ainsi,
ρ i exp((i + 1)Lτ) = 1 ρ
exp (ln(ρ exp(Lτ))(i + 1))
≤ 1 ρ exp ( ln(ρ exp(Lτ)) t−t ) (5.20)
0
τ .
|W (i,e(t))| ≤ 1 ρ exp ( ln(ρ exp(Lτ)) t−t )
0
τ W (0,e(t0 ))
(
)
+ γ ξ 2 ‖ξ‖ [t 0 ,t) + γz 2 ‖z‖ [t 0 ,t) + γw 2 ‖w‖ 1
[t 0 ,t) L [exp(Lτ) − 1] a 1ζ(τ),
(5.21)
d’après (4.9),
|e(t)| ≤ a 2
a 1 ρ exp ( ln(ρ exp(Lτ)) t−t )
0
τ |e(t0 )|
(
)
+ζ(τ) γ ξ 2 ‖ξ‖ [t 0 ,t) + γz 2 ‖z‖ [t 0 ,t) + γw 2 ‖w‖ 1
[t 0 ,t) L [exp(Lτ) − 1] . (5.22)
En nommant β 2 : (s,t) ↦→ a 2
a 1 ρ exp ( ln(ρ exp(Lτ)) t )
τ s qui est une fonction de classe exp −KL
le résultat désiré est obtenu.
□
Remarque 5.2.1 En réalité, la fonction β 2 est de classe K en τ. Ainsi lorsque τ tend vers 0
(oublions momentanément le paradoxe de Zénon), on obtient W = 0 puisque ζ(0) = 0, ce qui