THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

152 Chapitre 7. Convergence semiglobale pratique d’observateurs émulés pour les NCS
Alors que le Théorème 5.2.2 assure la convergence globale et asymptotique de l’erreur
d’observation en l’absence de perturbations, le Théorème 7.2.2 garantit la convergence semiglobale
et pratique. On remarque que contrairement au Théorème 7.2.1 et au Corollaire 7.2.1,
aucune condition sur z 0 n’est requise dans le Théorème 7.2.2.
Remarque 7.2.7 Il est important de constater que différents résultats peuvent être déduits
des Théorèmes 7.2.2, 7.2.1 et du Corollaire 7.2.1. Par exemple,
– si min
s∈[0,M]¯γ−1 (s) ∈ R >0 ∪ {∞} (où ¯γ est défini dans la preuve correspondante), alors on
peut prendre ε = 0 ;
– si min
s∈[m,∞]¯γ−1 (s) ∈ R >0 ∪ {∞}, alors on peut choisir ∆ = ∞ ;
la combinaison de ces deux cas particuliers ( min
s∈[0,∞]¯γ−1 (s) ∈ R >0 ∪ {∞}) permet de retrouver
les résultats du Chapitre 5 mais des gains différents.
7.3 Applications aux observateurs par critère du cercle
Les observateurs par critère du cercle développés dans [50] (qui sont une extension de ceux
de [8]) sont étudiés lorsque les mesures du système sont transmises via un réseau ordonnancé
par un protocole RR, TOD ou TOD modifié (défini dans §4.3.2) et avec des bloqueurs ZOH
ou Pred. Le cas du simple échantillonnage des sorties est également traité.
Considérons les systèmes de la forme :
ẋ = Ax + Gγ(Hx) + φ(y) (7.40)
y = Cx, (7.41)
où x ∈ R nx , y ∈ R ny , G ∈ R nx×n H
, H ∈ R n H×n x
, γ ∈ C 1 (R n H
,R n H) et φ : R ny → R nx .
Remarque 7.3.1 Lorsque γ = 0, on retrouve les systèmes linéaires à une injection de sortie
près.
La non-linéarité γ satisfait, pour tout s ∈ R n H
:
( )
∂γ ∂γ T
∂s + ≥ 0. (7.42)
∂s
Hypothèse 7.3.1 Les fonctions φ et γ sont uniformément continues respectivement sur R ny
et R n H
c’est-à-dire, d’après la Proposition A.2.1, qu’il existe θ φ ,θ γ ∈ K tels que pour tout a,b
de dimensions appropriées :
|φ(a) − φ(b)| ≤ θ φ (|a − b|) (7.43)
|γ(a) − γ(b)| ≤ θ γ (|a − b|). (7.44)