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216 Annexe D. Théorèmes du petit gain pour des systèmes paramétrés
˜σ m (τ,s) = max { β 1 (s,0),γ ωa 2
1 (τ,β 2(s,0)),β 2 (s,0),γ ω 1
2 (β 1(s,0)) } . (D.154)
Soit, pour s ∈ R ≥0 ,
σ y (τ,s) = max { γ ωa 2
1 (τ,γω 1
2 (s)),γω 1
2 (γωa 2
1 (τ,s))} (D.155)
˜γ u (τ,s) = max { ˜β(σ y (τ,σ u (τ,s),0)), ˜β(σ u (τ,s),0),σ u (τ,s) } . (D.156)
On constate que les conditions de la Proposition D.1.3 sont satisfaites. En effet, on identifie
x = y = max { |ω 1 (x 1 )|,|ω2 a(x 2)| } , u = max{|u 1 |,|u 2 |}, pour (s,t) ∈ R 2 ≥0 , β(s,t) = ˜β(s,t),
γ y (s) = max { γ ωa 2
1 (τ ∗ ,γ ω 1
2 (s)), γω 1
2 (γωa 2
1 (τ ∗ ,s)) } , γ u (s) = σ u (τ ∗ ,s), c y = ˜σ m (τ ∗ ,m), σ t (s) = 0,
σ x (s) = ˜β(s,0), σ y est défini dans (D.155) avec τ = τ ∗ , σ u (s) = σ u (τ ∗ ,s), c x = ˜σ m (τ ∗ ,m),
c = max {˜σ m (τ ∗ ,m),m } , ˜γ u est donné dans (D.156) avec τ = τ ∗ . L’inégalité (D.25) est
satisfaite d’après (D.150), (D.26) d’après (D.144) et (D.145), (D.27) d’après (D.150), (D.28)
d’après (D.132), (D.29) d’après (D.131). Par conséquent, puisque (D.136) est vérifiée, en
invoquant la Proposition D.1.3, pour η > 1 et ¯∆ = ∆, on peut montrer qu’il existe β ∈ KL,
σ ∈ K, ¯σ ∈ KK telles que, pour tout t ∈ [t 0 ,∞) :
max { |ω 1 (x 1 (t))|,|ω2(x a 2 (t))| } {
≤ max β(max { |ω 1 (x 1 (t 0 ))|,|ω2(x a 2 (t 0 ))| } ,t − t 0 ),
σ(max { ‖u 1 ‖ [t0 ,t) , ‖u 2‖ [t0 ,t)
}
),
¯σ(τ ∗ , max { ‖u 1 ‖ [t0 ,t) , ‖u }
2‖ [t0 ,t) ),
}
η˜σ m (τ ∗ ,m),ηm . (D.157)
Sachant que δ m (τ,s) = max { η˜σ m (τ,s),ηs } , pour s ∈ R ≥0 , d’après (D.131) :
max { |ω 1 (x 1 (t))|,|ω2 a (x 2(t))| } {
≤ max β(max { |ω 1 (x 1 (t 0 ))|,|ω2 a (x 2(t 0 ))| } ,t − t 0 ),
σ(max { ‖u 1 ‖ [t0 ,t) , ‖u 2‖ [t0 ,t)
}
),
¯σ(τ ∗ , max { ‖u 1 ‖ [t0 ,t) , ‖u 2‖ [t0 ,t)
}
),ε
}
. (D.158)
□
De la même manière, on peut déduire du Théorème D.2.2 le résultat suivant qui est
utilisé au Chapitre 7. Il est intéressant de souligner que celui-ci peut être appliqué pour
l’analyse de problèmes de poursuite de trajectoires ou de synchronisation lorsque les données
du contrôleur sont échantillonnées en considérant le système comme étant paramétré en la
période d’échantillonnage, cf. [163].
Théorème D.3.2 Considérons le système (D.124)-(D.125), supposons qu’il existe β 1 ,β 2 ∈
KL, α 1 ,α 2 ,γ ω 1
2 ,γu 2 , ηω 1
2 ,ηωa 2
2 ,ηu 2 ∈ K, γωa 2
1 ,γωb 2
1 ,γu 1 ,ηω 1
1 ,ηωa 2
1 ,ηωb 2
1 ,ηu 1 ∈ KK, ¯τ ∈ [υ,∞], tels que pour
tout x 1 (t 0 ) ∈ R nx 1 , (u 1 ,x 2 ) ∈ L nu 1 +nx 2
∞ , τ ∈ [υ,¯τ), et t ≥ t 0 ≥ 0, les solutions de (D.124)