THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

8 Notations
ess. sup τ∈[t1 ,t 2 ) |f(τ)| et ‖f‖ ∞
= ess. sup τ∈[t0 ,∞) |f(τ)|. L’ensemble L n ∞ représente l’ensemble
des fonctions f : R ≥0 → R n telles que ‖f‖ [0,∞)
< r, r ∈ R ≥0 .
Opérations sur les fonctions et propriétés
Pour des applications f = [f 1 , . . . , f n ] T ∈ C(R n ,R n ) et h ∈ C 1 (R n ,R p ), L f h représente
n∑
(∂ i h)f i où ∂ i h est la dérivée première de h par rapport à la ième variable, n, p ∈ Z >0 . On
i=1
notera ∂h la dérivée première de h.
Pour une fonction f : R ≥0
→ R n , n ∈ Z >0 , la notation f(t + ) représente limf(s) où
t ∈ R ≥0 , si une telle limite existe. Parallèlement, on note f(t − ) = limf(s), si elle existe.
Une fonction R T,r,a : R n → R m est dite un grand o de T r , que l’on note R T,r,a (y) = O(T r ),
où y ∈ R n est une variable et T, r, a ∈ R >0 des paramètres, s’il existe une fonction γ r,a de
classe K ∞ telle que, pour tout r,a ∈ R, δ ∈ R >0 , il existe ¯T ∈ R >0 tel que pour tout |y| ≤ δ
et T ∈ (0, ¯T ), on a :
|R T,r,a (y)| ≤ T r γ r,a (|y|). (2)
s→t
st
Vecteurs et matrices
Soit (x,y) ∈ R n+m , la notation (x,y) correspond à [x T , y T ] T .
Pour une matrice symétrique définie positive A ∈ R n×n , λ min (A) (λ max (A)) symbolise
la valeur propre minimale (maximale) de A. La matrice identité est représentée par I ∈
R n×n . Considérant p matrices A 1 , . . . ,A p ∈ R n×n , diag(A 1 , . . . ,A p ) représente la matrice blocdiagonal
np × np suivante :
⎡
⎤
A 1 0 . . . . . . 0
0 A 2 0 . . . .
. . 0 .. . .. .
.
⎢ .
⎣ . .. . .. . .. ⎥ 0 ⎦
0 . . . . . . 0 A p
Solution d’une équation différentielle ordinaire
Soit l’équation différentielle ordinaire :
ẋ = f(t,x,u), (3)
où x ∈ R n , u ∈ R m , f : R ≥0 × R n × R m → R n , n,m ∈ Z >0 . Pour un instant initial donné
t 0 ∈ R ≥0 , une condition initiale x 0 = x(t 0 ) ∈ R nx et un signal d’entrée u ∈ L m ∞, la solution