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130 Chapitre 6. Extension des observateurs de Karafyllis-Kravaris aux NCS où x = (x 1 , . . . ,x p ) ∈ R pn , x i ∈ R n et ⎡ ⎤ 0 I n 0 . . . 0 . 0 I n . A = . . .. . .. 0 , ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 I n ⎦ 0 . . . . . . . . . 0 C = [I n 0 . . . 0] ∈ R n×np , φ(x) = (φ 1 (x 1 ),φ 2 (x 1 ,x 2 ), . . . ,φ p (x)) avec φ i globalement Lipschitzienne de constante k φi ∈ R >0 , i ∈ {1, . . . ,p}, p ∈ Z >0 . Lorsque les mesures du système sont transmises par l’intermédiaire d’un réseau, le problème s’écrit : ξ ˙ = (A − θ∆ −1 θ S−1 C T C)ξ − θ∆ −1 θ S−1 C T e + φ(ξ + z) − φ(z) ∀t ∈ [t i−1 ,t i ] (6.82) ż = Az + φ(z) + θ∆ −1 θ S−1 C T (Cξ + e) ∀t ∈ [t i−1 ,t i ] (6.83) ė = −CAξ + C(φ(z) − φ(ξ + z)) ∀t ∈ [t i−1 ,t i ] (6.84) ξ(t + i ) = ξ(t i) (6.85) z(t + i ) = z(t i) (6.86) e(t + i ) = h(i,e(t i)), (6.87) où z = ¯x, h est défini par (4.29), (4.38) ou (4.49), où la séquence d’instants de transmission {t i } i∈Z>0 est telle que υ ≤ t i − t i−1 ≤ τ, υ ∈ R >0 , τ ∈ [υ,∞), t 0 = 0. Pour les mêmes raisons qu’au Chapitre 5, nos résultats s’appliquent à cette classe de systèmes paramétrés en θ. Les Hypothèses 6.4.1 et 6.4.2 sont vérifiées d’après §5.3.2. Le Lemme 5.3.2 nous indique que l’Hypothèse 6.4.3 est également satisfaite avec K j (θ) = (|C j A| + k φj )γ 1 (θ) et K(θ) = (|CA| + k φ )γ 1 (θ) pour (6.20). La proposition suivante est une application du Corollaire 6.4.1, du Théorème 6.4.2 et de §6.3. Proposition 6.5.2 Considérons le système (6.82)-(6.87), pour tout θ > θ 0 (où θ 0 est défini dans le Lemme 5.3.2) pour (i) le protocole RR, si τ ∈ [υ,ˆτ RR (θ)) où (ii) le protocole TOD, si τ ∈ [υ,ˆτ T OD (θ)) où (iii) le cas échantillonné, si τ ∈ [υ,ˆτ SD (θ)) où alors le système est RFC et (6.37) est satisfait. ˆτ RR (θ) = 1 3(K 1 (θ)+K 2 (θ)+K 3 (θ)) ; (6.88) ˆτ T OD (θ) = 1 3 3 2 max j∈{1,...,3} {K j(θ)} ; (6.89) ˆτ SD (θ) = 1 K(θ) ; (6.90) La même remarque que pour les observateurs linéaires s’appliquent : on retrouve les mêmes propriétés de stabilité qu’au chapitre précédent mais avec des bornes nouvelles sur le MATI.
Chapitre 6. Extension des observateurs de Karafyllis-Kravaris aux NCS 131 6.6 Simulations Dans cette section, différents exemples d’émulation d’observateurs sont étudiés. Les configurations du réseau sont celles évoquées au Chapitre 5 : les protocoles RR, TOD et le cas échantillonné, ainsi que les bloqueurs ZOH et Pred. On rappelle que les travaux de ce chapitre ne permettent pas d’étudier les bloqueurs ZOH. Nous comparerons les bornes sur le MATI déduites aux Chapitres 5 et 6 et commenterons certaines hypothèses. 6.6.1 Exemple numérique avec Soit le système : ẋ = Ax (6.91) y = Cx, (6.92) A = ⎡ ⎤ 0 1 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 −1 −1 0 0 , C = ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 0 −1 0 ⎦ 1 0 0 0 −1 ⎡ ⎢ ⎣ 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 L’origine x = 0 est stable pour le système (6.91), puisque les pôles de A sont {−1,−1,−1,−i,i}. La paire (A,C) est observable. Un observateur continu est synthétisé : ⎤ ⎥ ⎦ . ˙¯x = A¯x + Λ(y − C ¯x), (6.93) où Λ ∈ R 5×3 est telle que les pôles de (A − ΛC) sont (−1.4, − 1.4, − 1.4, − 1.4, − 1.4). Lorsque le système transmet ses mesures par l’intermédiaire d’un réseau ordonnancé, le vecteur de sortie est décomposé en trois nœuds : y = (y 1 ,y 2 ,y 3 ), où y 1 = x 2 + x 3 = C 1 x y 2 = x 3 + x 4 = C 2 x y 3 = x 4 + x 5 = C 3 x. On remarque que les informations des trois nœuds [ sont ] indispensables à l’estimation du vecteur d’état puisque aucune paire (A,C i ) ou (A, ), (i,j) ∈ {1,2,3} 2 n’est observable. C i C j Les bornes sur le MATI obtenues à l’aide des Propositions 5.3.1 (pour le bloqueur ZOH), 5.3.2 et 6.5.1 (pour le Pred), pour les différentes configurations de réseau, sont résumées dans le Tableau 6.1 (le système (6.91) étant stable, la Proposition 5.3.1 peut bien être appliquée). Les MATI constatés en simulation y sont également indiqués, mais uniquement pour le Pred : la convergence étant pratique avec le ZOH, il est difficile de déterminer une valeur limite
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220 Annexe E. Fonction de Lyapunov
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Continuous-discreteadaptive observe
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S(t k+1 ) = S(t − k+1 ) + τ kC T
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