THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 2. Commande adaptative échantillonnée de systèmes non linéaires 39
On peut alors montrer, d’après les définitions de ¯∆ et de ¯T , que :
et donc :
W (x(T ),˜γ(T )) < β( ¯∆), (2.44)
|(x(T ),˜γ(T ))| < ¯∆. (2.45)
Il est important de remarquer que l’inégalité (2.45) a été obtenue en utilisant le fait que
|(x 0 ,˜γ 0 )| < ¯∆ et non pas |(x 0 ,˜γ 0 )| ≤ ∆. Par conséquent, on en déduit par récurrence que le
système discrétisé exact (2.8) est positivement complet, c’est-à-dire k max = ∞, et que, pour
tout k ∈ Z ≥0 , pour T ∈ (0, ¯T ) suffisamment petit :
|(x(kT ),˜γ(kT ))| ≤ ¯∆, (2.46)
le système (2.8) est donc semiglobalement borné. De plus, on peut montrer que, pour k ∈ Z ≥0 :
W (x(kT ),˜γ(kT )) ≤ (1 − T a) k W (x 0 ,˜γ 0 ) + σ r+1 η ¯∆
(2 − π) + T
2a a . (2.47)
Ainsi, puisque (1 − T a) ∈ (0,1),
lim sup W (x(kT ),˜γ(kT )) ≤ σ r+1 η ¯∆
(2 − π) + T
k→∞
2a a , (2.48)
en d’autres termes,
(
lim sup |(x(kT ),˜γ(kT ))| ≤ β −1 σ
r+1 η
)
¯∆
(2 − π) + T . (2.49)
k→∞
2a a
Tous les résultats désirés ont été démontrés.
□
On remarque que l’Hypothèse initiale 2.2.1 n’est pas nécessaire pour appliquer le Théorème
2.4.1. Cependant nous verrons par la suite dans quelle mesure elle permet de satisfaire l’Hypothèse
2.4.1 qui est elle un point clef de la preuve ci-dessus.
On constate que l’ensemble compact vers lequel converge l’état étendu du système dans le
Théorème 2.4.1 tend vers la boule centrée en l’origine de rayon β −1 ( σ
2a (2 − π)) lorsque l’on
augmente l’ordre du contrôleur.
Remarque 2.4.1 On ne peut espérer prouver que |(x(kT ),˜γ(kT ))| tende vers 0 lorsque k
tend vers l’infini, puisqu’il n’y a a priori aucune raison que ˆγ converge vers γ.
Remarque 2.4.2 D’après la preuve du Théorème 2.4.1, la bornitude des variables du système
(2.8), n’est a priori pas garantie avec cette analyse lorsque l’on considère l’émulation directe
de la loi de commande adaptative continue (sans σ-modification dans la loi d’estimation) de
l’Hypothèse 2.2.1, même pour T très petit.