THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

32 Chapitre 2. Commande adaptative échantillonnée de systèmes non linéaires
Remarque 2.2.4 Tout au long de ce chapitre, les variables dont dépend l’entrée sont omises
par souci de clarté. Implicitement, à chaque fois qu’une composante de la loi de commande
est mentionnée, une loi d’estimation est utilisée. Lorsqu’aucune définition explicite de la loi
d’estimation n’est donnée, la variable correspondante est supposée bornée. Il sera montré que
celle développée dans §2.3 l’est effectivement.
Pour une condition initiale, x 0 = x(0), et une loi de commande échantillonnée, u r sd , r ∈
Z ≥0 , données, la solution de (2.6), x(·,x 0 ,T,u r sd
) coïncide avec celle du système discrétisé exact,
x e (·,x 0 ,T,u r sd
), à chaque instant d’échantillonnage. Le système discrétisé exact associé à (2.6)
est, pour k ∈ Z ≥0 ,
x((k + 1)T ) = x(kT ) +
∫ (k+1)T
kT
[g 0 (x(s))θ + g 1 (x(s))u r sd (kT )] ds (2.7)
= FT,θ e (x(kT ),ur sd (kT )). (2.8)
Nous rappelons que l’expression analytique de (2.6) est en général impossible à établir (cf.
Chapitre 1).
L’objectif principal de ce chapitre est de donner des conditions suffisantes pour la synthèse
de contrôleurs d’ordre élevé de la forme (2.5), qui garantissent la bornitude des états et de la
variable d’estimation du discrétisé exact (2.8) semiglobalement, pour T suffisamment petit.
Le système à données échantillonnées (2.6) héritera alors de cette propriété sous de faibles
conditions sur le comportement du système entre deux instants d’échantillonnage (cf. [155]).
Par exemple, si g 0 et g 1 sont des champs de vecteurs globalement Lipschitziens, la bornitude
des états suit immédiatement en utilisant le lemme de Gronwall (Lemme A.1 dans [98]). Il
sera montré sur un exemple, dans §2.5, qu’en augmentant l’ordre du contrôleur, on améliore
la vitesse de convergence et étend le bassin d’attraction du système en boucle fermée.
Remarque 2.2.5 Les résultats de ce chapitre ne sont pas fondés sur le cadre méthodologique
de [150], contrairement à ceux du Chapitre 3, puisqu’aucun modèle approximé n’est considéré,
mais uniquement le développement en série de Fliess de la fonction de Lyapunov continue.
2.3 Loi d’estimation
2.3.1 Développement en série de Fliess de l’équation aux différences de V
Premièrement, l’équation aux différence de V , ∆V (x) = V (x + ) − V (x), est développée
en une série de Fliess. Cela constituera le point de départ pour la synthèse de contrôleurs
adaptatifs.