THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 2. Commande adaptative échantillonnée de systèmes non linéaires 29
paramètre est incertain, est réalisée. L’objectif est de proposer des contrôleurs discrets d’ordre
élevé aussi simples que possible, qui permettent d’obtenir de meilleures performances que le
blocage de la commande continue. La méthode suivie est celle initialement développée dans
[147] pour la synthèse de contrôleurs dits grand gain. Le principe est le suivant. Considérant
une fonction de Lyapunov pour le système bouclé continu, son équation aux différences
est développée en série de Fliess. Des conditions suffisantes sont ensuite déduites, à partir
desquelles, une loi de commande d’ordre élevé peut être déduite. Cette méthode présente
l’avantage d’être relativement simple, flexible et de pouvoir s’appliquer à une large classe de
systèmes. Nous étendons ici ces résultats au cas où un paramètre inconnu affecte les dynamiques
du modèle. La commande adaptative développée repose donc sur des outils de Lyapunov
et est du type directe : notre but n’est pas d’identifier le paramètre mais de véritablement
assurer des propriétés de stabilité pour l’état du système. Puisque le développement de
l’équation aux différences de la fonction de Lyapunov se fait à un ordre élevé, le problème
perd sa linéarité originale en le paramètre inconnu. Contrairement à [68], aucune surparamétrisation
n’est nécessaire. En effet, en supposant que le paramètre appartienne à un
ensemble compact de bornes connues, le problème est reparamétré. Puis, à l’aide des techniques
de [146], une unique loi d’estimation est dérivée. Celle-ci est notamment composée de
σ-modifications comme dans [205], afin de garantir la stabilité de l’estimé. Des conditions
suffisantes, similaires à celles de [147], sont alors déduites, permettant d’obtenir un contrôleur
d’ordre élevé. La structure de commande adaptative garantit des propriétés de bornitude
semiglobale pour le système bouclé. L’analyse de stabilité ne permet pas de distinguer les
propriétés du vecteur d’état du système de celles de l’estimé. En effet, il n’existe pas aujourd’hui
de principe de LaSalle approprié pour les systèmes discrets paramétrés incertains et la
construction de fonctions de Lyapunov forte à l’aide de théorèmes de Matrosov est ici vaine,
puisque la convergence de l’estimé vers la véritable valeur n’a a priori pas lieu d’être. Les simulations
sur un exemple numérique montrent que les états du système convergent bien vers un
voisinage de l’origine. Bien que l’analyse de stabilité soit réalisée à partir du développement
en série de Fliess tronquée de l’équation aux différences de Lyapunov, les propriétés obtenues
sont garanties pour le discrétisé exact. Celles du système à données échantillonnées suivent
alors sous de faibles conditions d’après [155]. En comparaison avec le simple blocage d’une
loi continue, les contrôleurs d’ordre élevé permettent généralement d’augmenter la vitesse
de convergence et d’élargir le bassin d’attraction, comme nous le montrons sur un exemple.
En résumé, les contrôleurs proposés fournissent de meilleures performances que l’émulation
et sont plus simples que ceux d’ordre élevé précédemment donnés dans [68] puisqu’aucune
surparamétrisation n’est requise.
Ce chapitre est organisée de la façon suivante. Dans un premier temps, la problématique
est présentée dans §2.2, puis une loi d’estimation est proposée après avoir reparamétré le
problème dans §2.3. Le théorème de stabilité principal est alors énoncé dans §2.4, ainsi que
des conditions suffisantes pour la synthèse de contrôleurs. Une méthode de synthèse est donnée