THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 1. Introduction 19
En 1989, Eduardo Sontag introduit une nouvelle notion de stabilité dite stabilité entréeétat
afin d’analyser l’impact de signaux bornés sur le comportement du système en représenta–
tion d’état [180]. Elle peut être vue comme un cas particulier de la propriété « entrée bornée »
implique « état borné ». Largement étendue depuis (voir [183]), cette propriété et ses dérivées
ont été entièrement caractérisées par des outils de Lyapunov. De nombreuses études se sont dès
lors intéressées à la stabilisation entrée-état afin d’avoir à disposition des contrôleurs robustes
vis-à-vis des perturbations pouvant affecter le système. Ainsi, il est montré dans [180] qu’un
retour d’état bâti sur des fonctions de Lyapunov de commande pour les systèmes affines peut
être modifié afin d’assurer la stabilité entrée-état du système vis-à-vis des perturbations sur
les signaux des actionneurs. Dans [56], une commande par backstepping pour les systèmes
sous forme strict-feedback est proposée afin de garantir la stabilité entrée-état vis-à-vis des
termes incertains affectant les dynamiques du modèle. La stabilisation de cette classe de
systèmes par backstepping est établie depuis les années 1990 [101, 172] et a été appliquée pour
de nombreux problèmes comme la commande d’actionneurs hydro-électriques, de véhicules
autonomes, de machines électriques, de robots manipulateurs, la synchronisation de systèmes
chaotiques etc... Nous nous intéresserons au Chapitre 3 à ce problème lorsque le contrôleur
utilisé est numérique. Il faut souligner que ces résultats n’ont pas pour but d’atténuer l’effet
des perturbations mais de garantir la robustesse du système bouclé en ce sens que l’erreur de
convergence dépendra de l’amplitude maximale des perturbations.
D’autre part, lorsqu’une borne sur l’amplitude des perturbations est connue et que la
structure du problème le permet, la stabilisation asymptotique est envisageable par diverses
méthodes déterministes. Il s’agit dès lors de compenser les perturbations et de garantir la
stabilité du système bouclé. Une multitude de techniques ont été développées dans ce sens
que ce soit à l’aide de lois de commande continues ou discontinues comme les modes glissants.
Nous utiliserons l’une d’entre elles au Chapitre 3, toujours pour la commande par backstepping
de systèmes sous forme strict-feedback. Cette étude reprend certaines lois de commande de
[55] pour ensuite les reconstruire en fonction de la période d’échantillonnage. Les travaux de
[55] peuvent être considérés comme une extension des techniques initialement développées
dans [17, 38].
1.3 Approches de commande en temps échantillonné
Les trois approches permettant de synthétiser des contrôleurs pour les systèmes à données
échantillonnées sont présentées en prêtant une attention particulière au cas des systèmes non
linéaires. Un tableau comparatif est proposé à la fin de cette section (voir Tableau 1.1).
1.3.1 Synthèse en temps continu (Continuous-Time Design - CTD)
La façon la plus simple de commander un système à données échantillonnées est de
discrétiser un contrôleur continu. L’idée étant, qu’en échantillonnant à une fréquence suffisam-