THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

Chapitre 3. Backstepping robuste échantillonné 55
(
∂ ¯ξT
∂η (η⋆ )) T
˜d1 , où η ⋆ = η + T (f(η) + g(η)ξ) + θ 2 ˜d1 , et θ 2 ∈ (0,1). Par conséquent,
∆V T ≤ ∆W T − cT (ξ − ¯ξ T (η)) 2
( (∂ ) T
+(1 − cT )(ξ − ¯ξ
¯ξT
T (η))
∂η (η⋆ ) ˜d1 − T (1 − cT )(ξ − ¯ξ T (η))
−T (1 − cT )(ξ − ¯ξ T (η))| ∂ ¯ξ T
∂η (η+ 0 )|2 + ˜d 2
)
+T 2 ˜M
2 ( ( ˜M 2 + 2 ˜M + 2) 2 + c ˜M + ˜M 2) , (3.26)
en utilisant la Propriété A.1.1 et le fait que | ˜d i | ≤ T ‖d i ‖ ∞
pour i ∈ {1,2},
∆V T ≤ ∆W T − cT (ξ − ¯ξ T (η)) 2 + T ‖d 2 ‖ 2 ∞ + T (1 − cT )2 (ξ − ¯ξ T (η)) 2 | ∂ ¯ξ T
∂η (η⋆ )| 2
+T ‖d 1 ‖ 2 ∞ − T (1 − cT )2 (ξ − ¯ξ T (η)) 2 | ∂ ¯ξ T
∂η (η+ 0 )|2
+T 2 ˜M
2 ( ( ˜M 2 + 2 ˜M + 2) 2 + c ˜M + ˜M 2) , (3.27)
d’après le théorème de la valeur moyenne, puisque la fonction ζ : z ↦→ | ∂ ¯ξ T
∂η (z)|2 est continûment
dérivable,
∆V T ≤ ∆W T − cT (ξ − ¯ξ T (η)) 2 + T ‖d 2 ‖ 2 ∞
+T (1 − cT ) 2 (ξ − ¯ξ T (η)) 2 ∂ζ
∂η (η∗∗ )θ 2 ˜d1 + T ‖d 1 ‖ 2 ∞
+T 2 ˜M
2 ( ( ˜M 2 + 2 ˜M + 2) 2 + c ˜M + ˜M 2) , (3.28)
où η ⋆⋆ = η + T (f(η) + g(η)ξ) + T θ 2 θ 3 d 1 , θ 3 ∈ (0,1). D’après la définition de ˆM on a :
∆V T ≤ ∆W T − cT (ξ − ¯ξ T (η)) 2 + T ‖d 1 ‖ 2 ∞ + T ‖d 2‖ 2 ∞ + T 2 ˆM. (3.29)
L’Hypothèse 3.4.1 nous indique que, pour tout T ∈ (0, ¯T ), il existe ˜α 3 ∈ K ∞ telle que, avec
˜γ 1 : s ↦→ s 2 + γ 1 (s) et ˜γ 2 : s ↦→ s 2 (s ∈ R ≥0 ),
∆V T ≤ −T ˜α 3 (|η|) − cT (ξ − ¯ξ T (η)) 2 + T δ 2 + T δ 2 + T ˜γ 1(‖d 1 ‖ ∞
) + T ˜γ 2 (‖d 2 ‖ ∞
). (3.30)
D’après la Proposition 1 dans [153], il existe ᾱ 3 ∈ K ∞ et γ ∈ K telles que :
∆V T ≤ −T ᾱ 3 (|x|) + T γ(‖d‖ ∞
) + T δ. (3.31)
En invoquant le théorème de la valeur moyenne, on peut montrer qu’il existe L ∈ R >0 , tel
que, pour tout x,z ∈ R n+1 où max{|x|,|z|} ≤ ∆, |V T (x) − V T (z)| ≤ L|x − z|.
Finalement,
|u T | ≤ (c + 1 − cT ) ∣ ξ − ¯ξT (η) ∣ ∣ ∣∣∣ ¯ξT (η +
+
0 ) − ¯ξ ∣
T (η)
∣∣∣∣ ( ) ∂W T T ∣ + ∂η (¯η+ 0 ) g(η)
∣
+(1 − cT ) ∣ ξ − ¯ξT (η) ∣ ∂ ¯ξ ∣
T
∣∣∣
2
∣ ∂η (η+ 0 ) ≤ (c + 1) ˜M + ˜M 2 + ˜M 3 +
¯ξ T (η 0 + ) − ¯ξ T (η)
∣ T ∣ , (3.32)