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114 Chapitre 6. Extension des observateurs de Karafyllis-Kravaris aux NCS générale de systèmes [92]. Le principe est le suivant. Considérant un observateur continu, une variable auxiliaire est introduite afin de remplacer le vecteur de mesures indisponible entre deux instants d’échantillonnage. Celle-ci évoluera le long des mêmes champs de vecteurs que la sortie du système et sera réinitialisée lorsque les mesures sont reçues. On nommera ces structures observateurs de Karafyllis-Kravaris. L’objectif de cette étude est d’étendre les observateurs de Karafyllis-Kravaris aux NCS. Nous avons vu au Chapitre 4, que cette construction correspond à l’émulation d’un observateur continu associé à une fonction de blocage particulière, Pred. Ce chapitre offre ainsi une alternative au Chapitre 5 pour l’utilisation de bloqueurs Pred, puisque d’autres conditions sont considérées et que la convergence de l’observateur est analysée à l’aide d’outils différents. Nous en déduirons par conséquent de nouvelles bornes sur le MATI. Nous montrerons que les conditions requises sont également satisfaites par les observateurs linéaires et à grand gain. Des comparaisons des MATI obtenus à l’aide des deux méthodes sont présentées sur deux exemples. Ce chapitre est organisé de la façon suivante. Après avoir rappelé quelques définitions et résultats de stabilité dans §6.2, le principe des observateurs de Karafyllis-Kravaris est rappelé dans §6.3 pour les systèmes à données échantillonnées. Dans §6.4, le problème est réécrit dans les mêmes coordonnées qu’aux Chapitres 4 et 5 pour les NCS, afin de comparer les hypothèses avec celles précédemment considérées. L’extension aux NCS est ensuite présentée pour un nouvelle classe de protocoles dite à excitation persistante qui inclut le protocole RR et les protocoles dynamiques TOD. Il est montré que les observateurs linéaires et à grand gain satisfont les hypothèses requises dans §6.5. Ces résultats sont ensuite appliqués à un exemple numérique et étendu à un observateur pour un robot flexible dans §6.6. 6.2 Préliminaires Dans son livre [181], Eduardo Sontag définit un système comme un objet mathématique qui satisfait notamment la propriété de semi-groupe (Définition 2.1.2), i.e. pour un système décrit par une équation différentielle ordinaire, toute solution x(·,t 0 ,x 0 ) coïncide avec celle ayant pour condition initiale x(t 1 ,t 0 ,x 0 ) pour tout t ≥ t 1 > t 0 (que l’on note ˜x(·,t 1 ,x(t 1 ,t 0 ,x 0 ))). L’intérêt grandissant pour les systèmes hybrides a amené les automaticiens à rencontrer des « systèmes » qui ne vérifient plus cette propriété (voir Exemple 2.7 dans [91]). Afin de combler ce vide, un cadre théorique a été développé dans [89, 90] pour l’analyse des systèmes vérifiant une propriété de semi-groupe dite faible, qui fut par la suite le point de départ de plusieurs études dont [91] où un théorème du petit gain est proposé. Celui-ci présente notamment la particularité de ne pas nécessiter la bornitude des états du système contrairement aux formulations classiques [86, 184]. C’est ce théorème qui est utilisé dans [92] pour prouver la convergence des observateurs à données échantillonnées et que nous utiliserons dans ce chapitre.
Chapitre 6. Extension des observateurs de Karafyllis-Kravaris aux NCS 115 La classe de systèmes considérée dans cette étude vérifie bien la propriété de semi-groupe. Nous rappelons tout de même quelques notions introduites dans [89] afin de présenter le théorème du petit gain de [91] qui nous permettra d’étendre certaines hypothèses par rapport au chapitre précédent. Considérons la classe de systèmes hybrides suivante : ẋ = f(t,x,u) ∀t ∈ [t i−1 ,t i ] (6.1) y = h(t,x,u) (6.2) x(t + i ) = ˜f(t i ,x(t i ),u(t i )), (6.3) où x ∈ R nx , y ∈ R ny , u ∈ L nu ∞ , f, ˜f : R ≥0 × R nx × R nu → R nx , h : R ≥0 × R nx × R nu → R ny , n x , n u , n y ∈ Z >0 . L’instant initial est noté t 0 ∈ R ≥0 et la condition initiale x 0 = x(t 0 ) ∈ R nx . La séquence de sauts {t i } i∈Z>0 vérifie : υ ≤ t i − t i−1 ≤ τ ∀i ∈ Z >0 , (6.4) avec υ,τ ∈ R >0 fixés indépendamment des états du système (υ est toujours introduit afin d’éviter le paradoxe de Zénon), t 0 ∈ R ≥0 est l’instant initial. Remarque 6.2.1 Nous avons choisi de considérer une classe de systèmes moins vaste que celle étudiée dans [89, 90], qui inclut les systèmes de la forme (4.22)-(4.27) afin de simplifier l’énoncé des définitions et résultats suivants. Définition 6.2.1 (Complétude robuste positive) Le système (6.1)-(6.3) est robustement positivement complet (RFC) vis-à-vis de u, s’il existe µ ∈ C(R ≥0 ,R ≥0 ), a ∈ K ∞ et γ ∈ K, tels que pour tout x 0 ∈ R nx , u ∈ L nu ∞ , les solutions de (6.1)-(6.3) vérifient, pour tout t ≥ t 0 ≥ 0 : |x(t)| ≤ µ(t − t 0 ) ( a(|x 0 |) + γ(‖u‖) [t0 ,t)) . (6.5) Remarque 6.2.2 Pour les systèmes décrits par des équations différentielles ordinaires, la complétude robuste positive est très similaire à la complétude positive uniforme d’après la Définition A.2.3 et l’équivalence des bornes sous forme d’addition et de maximum (cf. Proposition A.1.2), à la différence près que a doit être non bornée ici. Définition 6.2.2 (Bornitude-Implique-Continuation (BIC)) Le système (6.1)-(6.3) est BIC, si pour tout (t 0 ,x 0 ,u) ∈ R ≥0 × R nx × L nu ∞ il existe t max ∈ (t 0 ,∞] (l’intervalle maximal d’existence des solutions) tel que les solutions de (6.1)-(6.3), x(·,t 0 ,x 0 ,u) existent sur [t 0 ,t max ). De plus, si t max < ∞, alors pour tout c ∈ R >0 , il existe t ∈ [t 0 ,t max ) tel que |x(t,t 0 ,x 0 ,u)| > c.
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172 Annexe B. Rappels de stabilité
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174 Annexe C. Preuve de la Proposit
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