THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

148 Chapitre 7. Convergence semiglobale pratique d’observateurs émulés pour les NCS
que dans le Théorème D.3.2 ne sont pas précisées) :
γ ωa 2
1 (τ,s) = ζ(τ)˜γξ 1 (s)
γ ωb 2
1 (τ,s) = ζ(τ)˜γz 1(s)
γ u 1 (τ,s) = ζ(τ)˜γw 1 (s)
γ ω 1
2 (τ,s) = γW 2 (s)
γ u 2 (τ,s) = γw 2 (s)
η ω 1
2 (τ,s) = ηW 2 (s)
η ωa 2
2 (τ,s) = ηξ 2 (s)
η u 2 (τ,s) = ηw 2 (s)
α 1 (s) = α −1
1 (β 1(α 2 (s),0))
η ω 1
1 (τ,s) = 0
η ωa 2
1
(τ,s) = α−1
1 (ζ(τ)˜γξ 1 (s))
η ωb 2
1 (τ,s) = α−1 1 (ζ(τ)˜γz 1(s))
η1 u (τ,s) = α−1 1 (ζ(τ)˜γw 1 (s)).
Soient ∆,ε ∈ R >0 , on définit m,M (qui dépendent de ∆ et ε) tels que (D.163) est satisfait,
et ¯γ ∈ KK comme, pour (τ,s) ∈ [υ,¯τ) × R ≥0 ,
¯γ(τ,s) = max { ζ(τ)˜γ ξ 1 ◦ γW 2 (s),ζ(τ)˜γ z 1 ◦ η ξ 2 ◦ γW 2 (s),ζ(τ)˜γ z 1 ◦ η W 2 (s),γ W 2 (ζ(τ)˜γ ξ 1 (s)),
γ W 2 (ζ(τ)˜γz 1 (ηξ 2 (s))),γW 2 (ζ(τ)˜γz 1 (ηW 2 (s)))} . (7.21)
Soit ¯γ −1 l’inverse de ¯γ par rapport à sa première variable avec la convention ¯γ −1 (s) = ∞
si s ≥ τ 0 . En prenant :
on a
{
}
τ ∗ = min ¯τ, s∈[m,M]¯γ−1 min (s) , (7.22)
¯γ(τ ∗ ,s) < s ∀s ∈ [m,M], (7.23)
et la condition (D.164) est assurée. Finalement, en invoquant le Théorème D.3.2, les résultats
désirés sont obtenus.
□
Remarque 7.2.3 La constante ¯τ définit en quelque sorte un dépassement maximal pour les
variables du système. Elle est nécessaire à l’obtention de τ ∗ qui garantit les propriétés de
stabilité établies (pour plus de détails voir Annexe D). La détermination de la paire (¯τ,τ ∗ ) qui
permet de considérer le plus large MATI reste un problème ouvert.
La propriété de stabilité obtenue (7.20) est similaire à celle du Théorème 5.2.1, à la
précision de convergence ε près, avec un MATI qui dépend de ∆.
Remarque 7.2.4 Nous aurions pu regroupé δ(τ ∗ ,∆) et ε en un seul terme, cependant nous
avons choisi de les distinguer afin de souligner les similitudes avec le Théorème 5.2.1.