THÈSE DE DOCTORAT Ecole Doctorale « Sciences et ...

62 Chapitre 3. Backstepping robuste échantillonné
3.7 Exemple numérique
Dans cette section, nous illustrons les résultats de §3.5 à l’aide d’un exemple numérique.
Soit le système non linéaire suivant :
˙η = η 2 + ξ + d 1 (η,ξ) (3.55)
˙ξ = u + d 2 (η,ξ), (3.56)
où d 1 : (η,ξ) ↦−→ (1+sin(ξ))η 3 est majorée par ρ 1 : (η,ξ) ↦−→ 2|η| 3 et d 2 : (η,ξ) ↦−→ 1+cos(η)ξ 2
par ρ 2 : (η,ξ) ↦−→ 1 + ξ 2 : l’Hypothèse 3.5.1 est satisfaite. Considérons ¯ξ = −η − η 2 − 2η 3 et
W T (η) = 1 2 η2 (η ∈ R), l’Hypothèse 3.5.2 est garantie puisque ces fonctions sont bien deux
fois dérivables pour tout T , la condition (2) est vérifiée avec φ : s ↦→ s + s 2 + 2s 3 (s ∈ R ≥0 )
et les différentes dérivées partielles de ¯ξ et W T , considérées dans la condition (3), sont bien
localement bornées. Par conséquent, le Théorème 3.5.1 peut être appliqué. Un contrôleur de
la forme (3.38) est synthétisé avec c = 1, ε = 0.01 et la fonction p de sat est :
p T ε : z ↦−→ − 3
2(T ε) 5 z 5 + 5
2(T ε) 3 z 3 . (3.57)
Des simulations ont été réalisées afin de comparer les performances fournies par le contrôleur
(3.38) et l’émulation d’une loi continue du type hard développée dans [55]. Les paramètres
suivants ont été pris : T = 0.005, η(0) = ξ(0) = 3. La Figure 3.1 montre que les deux
contrôleurs discrets garantissent la convergence des états vers un voisinage de l’origine, mais
plus rapidement pour (3.38). Le tracé des signaux de commande, Figure 3.2, nous indique
que des phénomènes de grand gain apparaissent, typiques des contrôleurs de type hard [55].
La commande reconstruite présente toutefois l’avantage d’avoir généralement une amplitude
plus faible que l’émulation. En prenant une nouvelle valeur de période d’échantillonnage T =
0.015 (et η(0) = ξ(0) = 2) on constate Figure 3.3 que le blocage de la loi continue n’assure
plus la stabilisation du système contrairement à (3.38) : ce dernier permet d’élargir le bassin
d’attraction. Les signaux de commande sont présentés dans la Figure 3.4 et de nouveau, des
amplitudes élevées sont atteintes.
3.8 Conclusion
Rares sont les techniques de commande robuste non linéaire disponibles en temps échantil–
lonné. Dans ce chapitre, nous avons étudié le cas d’une des méthodes de commande non
linéaire les plus célèbres : le backstepping. Considérant une classe de systèmes sous forme
strict-feedback affectés par des perturbations, des lois de commande ont été proposées pour la
stabilisation entrée-état et asymptotique (lorsque les incertitudes vérifient des propriétés de
majoration) du système à données échantillonnées. A partir de l’approximé d’Euler discret, les
contrôleurs obtenus sont reconstruits par rapport au blocage de la loi continue afin d’améliorer
certaines performances, comme nous le montrons sur un exemple. Simples à déterminer et à