Actes - Climato.be

Les risques liés au temps et au climat
1. Fond théorique
Intuitivement, on peut imaginer l’analyse fréquentielle standard (de Fourier) analogue au
travail d’un détective qui essaye trouver les criminels à partir de leurs traces dans la neige.
Les uns ont le pied plus long, les autres plus large, les femmes – plus petit. Nôtre série à
analyser est comme le trottoir plein de traces, et, « selon » Fourier, les « criminels » sont des
sinusoïdes de fréquences diverses (leur phase n’est pas si importante : par exemple quelqu’un
peut faire le pas plus à gauche ou à droite ; l’amplitude ne nous intéresse non plus, car on ne
peut pas suive pas le poids, on cherche seulement la « signature » des chaussures). L’analyse
Fourier nous indique, donc, les traces même lorsque l’on ne connaît pas encore leur position
(plus ou moins exacte). La méthode STFT (Short Time Fourier Transform) « coupe » la série
en N intervalles plus petits et exécute l’analyse des fréquences (spectre Fourier) sur chacun de
ces intervalles. De cette façon on peut savoir qu’entre les moment 9 ÷ 10 on trouve les
fréquences f 1 et f 2 (qui peut-être n’existent qu’entre les moments 8 ÷ 12 mais pas tout le long
de la série). La méthode est bonne, mais le résultat manque de précision : dès qu’on « serre»
l’intervalle - « fenêtre », on perd de précision en fréquence et vice-versa. L’analyse ondelette
est comme un autre détective (Morlet) plus expérimenté, qui sait que les infracteurs préfèrent
une certaine marque des chaussures. Disons que Morlet regarde directement dans le catalogue
et élargisse et allonge les chablons pour les superposer sur chaque trace exactement.
Physiquement, une série temporelle est un signal ou une composition des signaux. Un signal
peut être stationnaire (au propriétés statistiquement invariantes au cours du temps, ex : le
bruit blanc) ou transitoire (probabilité aléatoire d’apparition au cours du temps), (Meyer,
1992). Différemment de la décomposition Fourier (en fréquence), l’algorithme ondelette
fonctionne dans l’espace temps - échelle. Pour une interprétation plus intuitive, les résultats
du processus peuvent être (et sont) représentées aussi bien en temps – fréquence.
Du point de vue climatique, les valeurs de maximum d’amplitude révélées par l’analyse
ondelette situées dans l’espace temps – fréquence sont ou des harmoniques (signaux
stationnaires-Fourier) – dont des phénomènes climatique que ont lieu au long de la série (ex :
la saisonnalité, pour une série des valeurs mensuelles) – ou des perturbations (signaux
transitoires) – des phénomènes individuelles, qui apparent dans le temps d’une manière
aléatoire. Des perturbations diverses peuvent apparaître au même instant : on les distinguent
par leur « signature » – leur position en fréquence.
Le terme anglais « wavelet » proviens du français «ondelette» introduit par Jean Morlet dans
les années ’80 (http://en.wikipedia.org/wiki/Wavelet#Overview). La transformation ondelette
(wavelet) utilise la décomposition d’une série temporelle en combinaisons de l’ondelette mère
(ou prototype). L’apparition de cette méthode représente un saut qualitatif dans
l’interprétation des résultats dans le domaine temps – fréquence. Traditionnellement, pour
investiguer une série dans le domaine temps – fréquence on utilise la STFT (Short Time
Fourier Transform) qui, malheureusement, ne permette pas une bonne résolution temporelle
qu’en détriment de la résolution fréquentielle et vice-versa (Torrence, Compo, 1998) à cause
du principe d’incertitude de Heisenberg.
La plus populaire ondelette est celle de Morlet (figure 1), définie par :
où t est le paramètre temps, ) - l’échelle de temps, c ) - le facteur de normalisation.
Dans le domaine fréquentiel la fonction est définie par
où * est la fréquence.
422