Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 1 · Erinnerung an die Quantenmechanik I
wert o können normiert und zueinander orthogonal bzw. auf die δ-Distribution normiert gewählt
werden, d.h. so, daß
o ′ ,α ′ o,α = δo ′ − oδ(α ′ − α). (1.1.1)
Dabei bezeichnet α einen oder mehrere Parameter, die im Falle einer Entartung des Eigenraums
die Eigenvektoren durchnumerieren. Diese Parameter können sowohl kontinuierliche als auch
diskrete Werte durchlaufen, und die δ-Symbole in Gl. (1.1.1) bezeichnen entsprechend δ-Distributionen
oder Kronecker-δ’s. Ist das System bei einer Messung der Observablen O im normierten Zustand
|ψ〉 präpariert, so ist die Wahrscheinlichkeit, bei der Messung der Observablen O den Eigenwert
o des ihr zugeordneten Operators O zu finden, ist durch die Bornsche Formel
∑
∫
w ψ (o) = dα|〈o,α |ψ〉|
2
(1.1.2)
gegeben, wobei das kombinierte Summations-Integrations-Symbol den kontinuierlichen und die
Summe über den diskreten Teil des Parameters α bedeutet.
4. Die Dynamik des Systems wird eindeutig durch die Zuordnung eines selbstadjungierten nach
unten beschränkten Operators H, des Hamiltonoperators des Systems, bestimmt.
Ist O der die Observable O repräsentierende selbstadjungierte Operator, so repräsentiert die
kovariante Zeitableitung
˚O = 1
expl
[O,H] + ∂t O (1.1.3)
iħh
die zeitliche Ableitung Ȯ der Observablen O.
1.2 Der Hilbertraum
Erinnern wir uns zur Erläuterung dieser Grundpostulate zunächst an den Begriff des Hilbertraums.
Dieser ist zunächst einmal ein Vektorraum über dem Körper der komplexen Zahlen, d.h. für irgendwelche
Elemente |ψ 1 〉,|ψ 2 〉,|ψ 3 〉 ∈ und Zahlen λ 1 ,λ 2 ∈ gibt es die Verknüpfung der Addition
von Vektoren |ψ〉+|φ〉 und der Multiplikation eines Vektors mit einer komplexen Zahl λ 1 |ψ〉, die
folgende Eigenschaften besitzen:
|ψ 1 〉 + |ψ 2 〉 = |ψ 2 〉 + |ψ 1 〉 (1.2.1)
(|ψ 1 〉 + |ψ 2 〉) + |ψ 3 〉 = |ψ 1 〉 + (|ψ 2 〉 + |ψ 3 〉) (1.2.2)
∃0 ∈ : |ψ 1 〉 + 0 = |ψ 1 〉, (1.2.3)
λ 1 (|ψ 1 〉 + |ψ 2 〉) = λ 1 |ψ 1 〉 + λ 1 |ψ 2 〉, (1.2.4)
(λ 1 + λ 2 )|ψ 1 〉 = λ 1 |ψ 1 〉 + λ 2 |ψ 1 〉, (1.2.5)
}{{} 0 |ψ 1 〉 = }{{} 0 , 1|ψ〉 = |ψ〉. (1.2.6)
∈ ∈
Daraus ergibt sich unter anderem auch, daß es zu jedem Vektor |ψ〉 einen Vektor |−ψ〉 := (−1)|ψ〉 =:
−|ψ〉 gibt, so daß |ψ〉 + |−ψ〉 = 0. Wegen (1.2.6) und (1.2.5) ist nämlich
0 = (1 − 1)|ψ〉 = 1|ψ〉 + (−1)|ψ〉 =: |ψ〉 + |−ψ〉. (1.2.7)
10