Quantentheorie II - FIAS

Kapitel 2 · Galilei-Symmetrie
Entsprechend ist
H exp(i ⃗w · ⃗K) E, ⃗p,σ =
E + ⃗w · ⃗p + m
2 ⃗w2 exp(i ⃗w · ⃗K) E, ⃗p,σ (2.7.8)
Falls m ≠ 0 ist, besitzt P ⃗ den ganzen 3 als Spektrum, und die Boost-Untergruppe wirkt aufgrund
der angenommenen Irreduzibilität der Strahldarstellung transitiv auf den verallgemeinerten Impulseigenvektoren.
Wir können daher die folgende Wignerbasis für die Impulseigenvektoren wählen:
E, ⃗p,σ
:= exp i ⃗p ⃗K
m · E 0 , ⃗p = 0,σ . (2.7.9)
Für den Energieeigenwert folgt dann wegen (2.7.8)
H E, ⃗p,σ
=
E 0 + ⃗p2
E, ⃗p,σ . (2.7.10)
2m
Wir können nun aber H um beliebige zum Einheitsoperator proportionale Operatoren verschieben,
ohne daß sich etwas an den Kommutatorrelationen (2.6.33-2.6.41) ändert. Wir dürfen also E 0 = 0 annehmen.
Dann ist
E = ⃗p2
2m , (2.7.11)
und folglich können wir statt E, ⃗p,σ =: ⃗p,σ schreiben. Da voraussetzungsgemäß die ⃗p,σ vollständig
sind, folgt daraus
∫
H = d 3 ⃗p ∑
3 σ
H ⃗p,σ ⃗p,σ ∫
= d 3 ⃗p ∑
3 σ
⃗p 2
2m
⃗p,σ ⃗p,σ P
= ⃗ 2
2m . (2.7.12)
Mit der Wahl der Eigenvektoren (2.7.9) können wir aufgrund der Kommutativität der Galilei-Boosts
sofort die Wirkung der Galilei-Boostuntergruppe auf die Impulseigenvektoren angeben:
exp(i ⃗w · ⃗K) ⃗p,σ
m ⃗w + ⃗p
= exp i ⃗K ⃗p = 0,σ (2.7.9)
= ⃗p + m ⃗w,σ . (2.7.13)
m
Jetzt müssen wir noch die Wirkung von Drehungen auf die Eigenvektoren untersuchen. Setzen wir
⃗φ = φ⃗n, so folgt aus den Kommutatorrelationen (2.6.34) ähnlich wie oben bei der Herleitung von
(2.7.3) durch Ableiten nach φ und anschließendem Zurückintegrieren (Übung)
⃗P ′ ( ⃗ φ) = exp(−i ⃗ φ · ⃗J) ⃗ P exp(i ⃗ φ · ⃗J) = ˆR( ⃗ φ) ⃗ P. (2.7.14)
Dabei ist ˆR ∈ 3×3 die gewöhnliche orthogonale Drehmatrix für eine Drehung um den Winkel φ um
die durch ⃗n gegebene Drehrichtung. Damit folgt
⃗P exp(i ⃗ φ · ⃗J) ⃗p,σ = ˆR( ⃗ φ)⃗p exp(i ⃗ φ · ⃗J) ⃗p,σ . (2.7.15)
Es ist also exp(i ⃗ φ · ⃗J) ⃗p,σ Impulseigenvektor zum Eigenwert ˆR( ⃗ φ)⃗p, und es muß folglich Zahlen
D σ ′ ,σ (⃗p, ⃗ φ) ∈ geben, so daß
exp(iφ ⃗ · ⃗J) ⃗p,σ = ∑ D σ ′ σ (⃗p, ⃗ φ) ˆR( φ)⃗p,σ ⃗ ′ (2.7.16)
σ ′
78