Quantentheorie II - FIAS

6.7 · Quantisierung des freien Dirac-Feldes
Feldimpulse. Es ergibt sich
Π = ∂
∂ ˙ψ = iψγ 0 = iψ † ,
Π = ∂
∂ ˙ψ
= 0. (6.6.56)
Auf den ersten Blick sieht dies fatal aus, da offenbar der kanonische Impuls zum adjungierten Feld
verschwindet. Scheinbar sehen wir uns vor ähnliche Probleme gestellt wie oben beim elektromagnetischen
Feld. Dies ist aber lediglich Folge der besonderen Struktur der Lagrangedichte. Man könnte
dies beheben, wenn man den Ausdruck in ψ und ψ symmetrisiert, was nur um eine totale Divergenz
von (6.6.55) verschieden wäre, was im Variationsprinzip keine Änderung für die Feldgleichungen ergibt.
Wesentlich ist nur, daß wir die Hamiltondichte mit dem Feldimpuls und dem Feld und seinen
räumlichen Ableitungen ausdrücken können, und das ist in der Tat der Fall:
= Π ˙ψ − = iψγ 0 ∂ t ψ − iψ( /∂ + im)ψ = ψ(−i⃗γ · ⃗∇ + m)ψ = −Πγ 0 (⃗γ · ⃗∇ + im)ψ. (6.6.57)
Die kanonischen Hamiltonschen Bewegungsgleichungen lauten
˙ψ = δH
δΠ = −γ 0 (⃗γ · ⃗∇ + im)ψ,
δH
←−
˙Π = −
δψ = Π −γ 0 ⃗γ · ⃗∇ + im . (6.6.58)
Multiplikation der ersten Gleichung von links mit iγ 0 und Zusammenfassen der Terme auf einer Seite
liefert wieder die Diracgleichung (6.6.1). Multiplikation der zweiten Gleichung von rechts her mit
iγ 0 und Zusammenfassung der Terme liefert die Gleichung (6.6.51) für Πγ 0 . Aufgrund der besonderen
Struktur der obigen Lagrangedichte ergibt sich der Zusammenhang (6.6.56) zwischen Feld und
kanonisch konjugiertem Impuls nicht aus den kanonischen Gleichungen. Es ergibt sich aber keine Inkonsistenz,
diese Beziehung einfach als Nebenbedingung zu fordern, d.h. wir können
setzen.
Π = iψγ 0 = iψ † (6.6.59)
6.7 Quantisierung des freien Dirac-Feldes
Die Quantisierung des Diracfeldes erfolgt nun dadurch, daß wir ψ durch einen Operator ψ ersetzen.
Wir fordern nun aber wegen des Spin-Statistik-Theorems keine kanonischen Kommutatorregeln sondern
kanonische Antikommutatorregeln. Wie wir sehen werden, ist dies kein Widerspruch zur allgemeinen
quantentheoretischen Dynamik, denn die Observablen werden stets durch Funktionen aus
einer gerade Anzahl von Fermionenfeldoperatoren aufgebaut; insbesondere die Hamiltondichte ist eine
bilineare Form in den Feldern. Wie wir zeigen werden, erfüllt der dazugehörige Hamiltonoperator
die korrekten Kommutatorrelationen mit den Feldern, so daß sich aus der Quantendynamik wieder
die Dirac-Gleichung für den Feldoperator ergeben wird, wie es sein muß. Wir verlangen also die
Antikommutator-Relationen zu gleichen Zeiten
{ψ a
(t, ⃗x),ψ b
(t, ⃗y)} = 0, {ψ a
(t, ⃗x),Π b (t, ⃗y)} = i ψ a
(t, ⃗x),ψ † b (t, ⃗y) = iδ ab δ (3) (⃗x − ⃗y). (6.7.1)
Die a, b ∈ {1,2,3,4} numerieren dabei die Dirac-Spinorkomponenten durch.
Wir berechnen nun die Modenentwicklung nach ebenen Wellen. Wir erwarten für die Teilchen und Antiteilchen
jeweils zwei Spinfreiheitsgrade (insgesamt also vier Feldfreiheitsgrade für jede Impulsmode).
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